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分享数学分析,线性代数,复变函数,离散数学,常微分方程,概率论,高等代数,抽象代数,实变函数,偏微分方程,拓扑学,泛函分析,微分几何,统计学,运筹学,数论,调和分析.
贴一个知乎上的数学专业课程:
- 基础：数学分析，高等代数；
- 分析：实分析，复分析，点集拓扑，泛函分析；
- 方程：常微分方程，偏微分方程，动力系统；
- 代数：抽象代数，交换代数，同调代数，李代数，表示论；
- 数论：代数数论，解析数论，类域论，模形式；
- 几何：微分流形，黎曼几何，黎曼曲面；
- 拓扑：代数拓扑，微分拓扑；
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一些不错的摘选
非数学专业如何系统的学习纯数学（Pure Math）以及教材推荐
转载信息: 作者：达克普林斯 链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/487123653 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
数学作为一门非常有用的工具学科，很多小伙伴在科研过程中都会使用到，尤其是一些理工科专业。但是当代数学以复杂和抽象著称，因此很多刚开始想入门数学的小伙伴无从下手，不知道从哪里开始。笔者这里希望在这里给大家写一个比较系统的入门介绍，（主要是介绍一些经典教材，以及如何阅读），让各位小伙伴可以高效，系统的学习当代数学。下面是一个阅前须知。
1.本文主要是写给非纯数专业的理工科博士生，研究生，科研工作者作为一个数学的入门指南和教材推荐来使用和阅读的。例如，理论物理方向的小伙伴可能会用到微分几何方面的知识，经济学的博士生需要了解不动点定理的证明，进阶的统计学需要用到测度论，etc。但是通常来说，上述提到的任何一个数学知识，都很难直接入门，需要大量的数学知识作为前置，本文希望可以提供一个较为清晰的road map，帮助非数学专业的同学入门。当然了，普通的数学爱好者以及一般大学生，如果想不开，想要了解当代数学，也可以阅读本文的内容进行学习。数学是深坑，入坑需慎重，一不小心几年青春就过去了。
2.本文的全部教材推荐都是英文教材。这里主要是出于几点考虑。首先，英语教材的整体质量更高。想要深度的理解现代数学，几乎是不可能绕开阅读英语教材的。其次，本文的主要针对人群还是科研人员以及博士生，因此阅读英语文献能力是必不可少的。
3.当代纯数根据其用到的方法进行分类，基本上主要可以分为分析（Analysis），拓扑（Topology），和代数（Algebra）。事实上这篇文章的主要目的也就是希望读者在读完之后能够有效的入门上述三个学科。其余的内容，比如ODE，PDE，微分几何，代数几何，概率论，傅立叶分析，也会少量的提到。
4.将文中提到的所有内容学完，相当于学完了北美纯数学博士的一二年级课程，一般来说这需要两到三年的时间，希望小伙伴们要有耐心。个别专业的读者可以有针对性的阅读，比如统计，机器学习方向的小伙伴，可以集中阅读分析这部分的内容，从这里为起点然后去看概率和随机分析方向的专著，代数和拓扑则可以跳过。我会尽量在文中解释清楚，每个方向所需要的前置知识是什么，以便有明确目的的读者把握住核心内容。
5.文中提到的入选教材的主要标准是， 教材是否经典，以及教材的可读性。注意，这两点通常是不可兼得的。
\6. 本文提到的大多数内容是根据北美纯数专业本科，研究生，博士生的课程大纲所挑选出来的必修或选修。所有教材都是遵从定义-定理-证明的教学模式，不涉及运算。根据北美的本科教学大纲，通常学生会在大一大二先学习微积分的运算，线性代数的运算，以及简单微分方程的运算，几乎所有的理工科学生都要在大一大二学习这几门课。然后数学专业的学生会在大三大四才开始学习传统意义上的分析，代数与拓扑。所以这里我推荐的所有教材都假设读者运算微积分和运算加减乘除一样熟练，这个要求对国内大多数上过高数的同学来说是不成问题的。如果你真的是个零基础读者，完全不懂微积分是什么，我这里推荐的教材的是James Stewart的Calculus: Early Transcendentals。顺带一提，这本微积分的初级教材竟然敢卖一百多刀，作者靠这书赚了几亿版权费。
7.笔者能力有限，才疏学浅。 如果有所疏漏，欢迎各位指正。大家有自己认为经典的教材的，也欢迎各位补充。
8.本文的第七部分到第十部分会分别介绍如何入门现代几何的三大支柱，代数拓扑（Algebraic Topology）， 微分几何（Differential Geometry），代数几何（Algebraic Geometry），加上泛函分析（Functional Analysis）。这部分内容涉及到北美纯数博士二三年级的课程。这部分内容都具有相当的难度和深度。基本上想要入门其中任意一门，都需要半年到一年的时间。笔者本人能力非常有限，从这里开始我只会我所使用过的入门教材，另外也会推荐一些经典名著，请酌情阅读。
9.同调代数（Homological Algebra）与交换代数（Commutative Algebra）是现代代数的两条支线，这两部分的内容更多的时候是作为对研究代数拓扑与代数几何的工具而出现的，所以这部分内容我会放在代数拓扑与代数几何里一起讲。傅立叶分析的部分我放在泛函分析那一章节，笔者并不是工科学生，因此对傅立叶分析了解不多。
10.大一能读懂Rudin的就不用往下看了。
11.目前本帖还只是个大纲，我每次上厕所的时候可能会拿出来修改修改。有什么好的提议欢迎大家留言。另外很多提到的教材是有pdf的，需要的小伙伴留个邮箱。
零. 怎么写证明
当代数学是建立在集合论上的，论证的手段主要是写证明。学数学首先要懂简单的逻辑学，以及什么是证明。这里推荐的第一本教材，是Mathematicial Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, 作者是Gary Chartrand, Albert, D. Polimeni, Ping Zhang。这是一本教你怎么写证明的书，内容包括Naive Set Theory，Functions，Logical Statement，etc。很多第一次学数学分析的同学，打开一本分析教材，一看证明写的第一句话就是Proof by contradiction, Proof by contrapositive, Proof by induction，然后就被劝退了。 这就是因为很多教材是假设读者了解简单的证明手段的，但是很少有数学教材会给出一些简单的例子来给读者说明什么是数学归纳。学完这本书以后，读者应该就可以无障碍的理解证明的原理了，后面的学习就会轻松许多。 同类型的书有很多，没有什么优劣之分。这本书可以当做一个预热。
一. 数学分析（Mathematical Analysis）
实数上的分析可以分成几类，一是 上的导数与黎曼积分，也就是Single Variable Analysis，二是后文会提到的测度论和勒贝格积分（Measure Theory and Lebesgue Integral）。三是
上的导数与黎曼积分以及曲面上的积分，这部分内容涉及到隐函数与泛函数定理。二与三的关系是平行的，可以同步学习。
(a).Understanding Analysis, by Stephen Abbott
最好的分析学入门教材，深入浅出，内容严谨。作者不吝啬花篇幅介绍每个概念的来龙去脉，这对初学者来说非常友好。Abbott注重建立良好的数学直觉，而不是像很多经典教材，把读者当作纯粹的推理机器。我知道很多学生都觉得分析很难，这种感觉很大部分来源于从以计算为主的数学到以证明为主的数学之间的思维转换。Abbott这本书起到了很好的承前启后的作用。读完这本书，初等分析就像是一只小猫咪。Abbott从来不追求最广义的定义，也不追求最简短的证明，因此本书的可读性极高。
分析这门课在北美是所有数学系学生接触到的第一门series math， 也是第一门真正用到公理化思维的数学课。 很多分析教材一上来就会假设 上的每一个bounded set都有一个lowest upper bound。刚刚接触理论数学的同学产生的第一个问题往往是，我们为什么要做这样的假设？看看Abbott是怎么做的，他在第一章，先告诉你
不是有理数，所以
上有很多的“洞”，然后自然的引入aximo of completeness这个假设，这种教学方式比一上来就展示实数的构造要合理的多。
(b).Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin
分析的标准教材，旷世经典。数学系必读，但是对非数学专业的来说，Rudin的必要性没那么高。Rudin对比Abbott，更抽象，观点更高，证明更简洁。但凡你在网上搜索过数学分析的入门教材，百分之90的概率有人会跟你推荐这本传说中的Rudin。
但我认为Rudin在教学意义上的评价虚高。我们了解下Rudin的成书背景，五六十年代Rudin在MIT教书的时候，发现MIT还在用哈代的教材，于是自己写了这么一本来取代哈代的内容，自此，这本书就成为了分析教材的行业标杆，备受北美的顶级大学教授的青睐。但是我这里强调一点，你的某个教授二三十年前在麻省理工或者哈佛学分析的时候用了Rudin并且感觉这书不错，不代表你今天读这书的时候也会像他一样感觉不错。我一直对Rudin颇有微词，也完全不能理解有人跟初学者推荐这本书。Rudin的9，10，11章写的堪称灾难，比Spivak的小册子还难。 9和10这两章Munkres写同样的内容用了将近300页，可以想像Rudin省略了多少步骤。
Rudin的过人之处在于本书具备最典型的数学之美，简洁而且优雅，没有一句废话。而这样的美，是初学者不能体会的。举个例子，本书第一章最后的附录涉及实数的构造，也就是Dedekind Cut。没有初学者能在这一阶段领悟潜在的“同构”概念。在这种情况下让读者去欣赏Dedekind Cut是不可能的。自学者或初学者是不知道哪里应该跳过，哪里应该细读的，因此这里的安排就远不如Abbott处理的好。我个人的感觉是，如果你真的很想读Rudin，至少读完Abbott之后再来看，第八章之后的内容全部跳过。
在学完上述两本中的任意一本之后，就算是入门纯数学了。下面介绍的内容涉及到微积分在 上的推广。也就是Rudin中我们省略的，以及Abbott没提到的内容。这一部分的内容最主要的结论是隐函数与反函数定理，物理以及经济方向的小伙伴都会用到。其次是曲面上的积分，以及微分形式。想要严格的学习微分形式，需要用到很多代数知识，这是这一阶段的读者暂时还不具备的，因此我会先介绍两本用初等方法证明广义微积分基本定理的教材。
(c). Calculus and Analysis in Euclidean Space, by Jerry Shurman
本书的内容涉及数学分析在 上的推广，也就是Rudin中9和10章中的内容。Shurman的风格类似Abbott，对读者非常友好。本书自然的分成微分与积分两个部分，还附带了一个迷你的线性代数课程以及微分几何课程。书里还包含了一个Lagrange乘数的证明。物理和经济方向的小伙伴一定要看看这本书。这本书中最精彩的章节其实在线性代数的部分，看完这部书读者就会明白为什么线性变换是一个矩阵，为什么高维的导数是一个矩阵，为什么行列式会出现在Change of Variable Formula中。
(d). Analysis on Manifolds, by James Munkres
和Shurman涉及的内容重叠，但是曲面积分的部分更严格，定义了流形以及微分形式，不过定义方法不是最general的形式，可读性远远超过Spivak那本小册子。
二. 点集拓扑（General Topology）
点集拓扑又叫一般拓扑，在前面学习分析的时候，读者应该已经接触到了一些基本的拓扑概念了。这里只推荐一本教材，因为点集拓扑在后面学实分析的时候很多教材会再次涉及这部分内容。读者在学习点集拓扑的时候要注意，拓扑当中有非常多的反例，非数学的学生不要花费太多时间在研究这些病态的例子上。对反例感兴趣的同学，可以参考Counterexapmles in Topology这本书。
(a). Topology, by James Munkres
上面已经介绍过一本Munkres所著的教材了，但是作者更为出名的是这本拓扑学。Munkres和Milnor作为MIT的同门，后者凭借对微分拓扑的贡献，其名气始终压过Munkres。但是Munkres的贡献在于写出了这本神作。本书自成书以后，就是点集拓扑教材的权威，而且写的十分清楚。光是第一章Naive Set Theory的部分就已经超值了。Munkres证明思路清晰，而且不跳步骤，习题难度适中。本书分为两个部分，part 1和part2。Part 1的前四章是点集拓扑的核心，必读，五到八章可以根据需要自行选择。 Part 2涉及到基础的代数拓扑，以homotopy theory和介绍基本群为主线。这一部分要等到后面学完抽象代数以后再回来看。关于第二部分，我建议读者只需要读第九章就好，其余代数拓扑的内容等到后面使用其他教材。
三. 抽象代数（Abstract Algebra）
抽象代数在量子力学，理论化学中有重要应用，同时也是现代数学中最重要的研究工具之一，如后面要学的代数拓扑。另外，想要深刻的理解线性代数，抽象代数也是必不可少的。
(a). Abstract Algebra, by David Dummit and Richard Foote
严格来说，这是一本研究生教材，但是因为写的太好了，没有代数基础的初学者也可以直接拿来看。另外选题也十分完整，甚至可以当博士教材来用。唯一的缺点是本书不使用范畴论（Category Theory）的语言，因此后面学习同调代数的时候会有点儿困难。本书主要分成群，环，模，域，交换与同调，表示论六个部分。最后两个部分相较前文略显逊色，建议配合其他教科书来学习。Dummit & Foote这本书的特点是例子非常多，证明很详细，适合初学者。另外本书的section 9.6涉及Grobner Bases，这部分内容是代数几何当中的一个计算工具，可以不看。10.3涉及Tensor Product，这章节由于作者对环的定义非常General，所以很复杂，建议从下文的Paolo中学习。10.4涉及Exact Sequence，这章节由于作者不使用范畴论的语言，所以非常难懂，也建议从下文的Paolo中学习。
D&F和Munkres的教材都属于那种入门读者可以直接拿来看的高级教材，省去读者阅读本科同类教材的时间。我第一次学抽象代数用的是Galliian写的Contemporary Abstract Algebra，但是因为过于初等，很多重要的地方完全不涉及，比如Sylow定理，阿贝尔群的分类，模，伽罗瓦定理这些抽象代数中最重要的内容竟然全都省略了。看这样的教材其实是在浪费时间，真的不如直接花时间去看D&F。
(b). Algebra: Chapter 0, by Paolo Allufi
涉及内容与Dummit & Foote大致相同，但是Allufii的整个体系是构架在范畴论之上的。数学从50年代开始，就彻底被范畴论绑架了。Paolo把范畴论放在了第一章，这是高级代数教材的一个主要特征。
有些计算机科学的科研工作者会用到范畴论的内容，我推荐他们从这本书来入门。这里稍微说一下范畴论，单独去学范畴论是不可能的，范畴论是建立在例子上的理论，而范畴论中最直观的研究对象全部来自于抽象代数，所以范畴论必须搭配抽象代数一起学。而Allufi这本书把范畴论和抽象代数结合的非常好，读者学完D&F以后，可以来Allufi这里感受一下范畴论的威力。本书的最后一章是有关同调代数的，可以算是同调代数的入门，比D&F里的对应章节要好很多。作者宣称同调这一章节是对GTM150附录的扩写，质量可见一斑。
(c). Algebra, by Thomas Hungerford
大名鼎鼎的GTM73，博士一年级代数标准教材，许多北美名校比如加州大学系统，华盛顿大学都在用，难度非常大，更适合做reference。如果读者在读完Dummit & Foote之后觉得还有余力，可以跳过Paolo读Hungerford。顺带一提，这本书关于Galois Theory的章节堪称地狱模式。
笔者自己的推荐是读完Dummit & Foote的前四个部分之后，读一遍Paolo，重点阅读有关Category Theory的部分。上面提到的书都有关于线性代数的章节，这部分内容可以选择不看，而是阅读有关线性代数的专著。
四. 线性代数（Linear Algebra）
线性代数在代数里的地位就像复分析在分析里的地位，都是天使。复分析有一切你所渴望的analytic properties， 线性代数有一切你渴望的algebraic properties。更难得可贵的是，线性代数还是个十分强力的计算工具，所以我十分喜欢线性代数。想要精通线性代数，抽象代数必须要学好。这里推荐两本教材，第一本偏计算，但是门槛低，学过简单的矩阵计算就可以开始看。第二本难度略大，但是观点极高。
(a). Linear Algebra, by Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence
非常全面的本科线性代数教材，兼具理论与计算。不涉及抽象代数与范畴论的语言，所以门槛低。但是读完之后可以降维打击百分之九十在统计，计算机科学，工程中所遇到线性代数问题。看完本书中内积空间的章节之后，再去学泛函分析就会具象很多。最后一章介绍了乔丹标准型，这是动力系统中最重要的一个基础工具。乔丹标准型这章其实写的不是很好，作者在出版国际版的时候也直接把这一章删掉了。但是这不是作者的锅。标准型本质上是对一类特殊module的解构，在不介绍module的情况下，确实很难把标准型的内容讲解清楚。我提供的解决方案是，读者可以去读Aluffi中有关线性代数的章节，然后再回头看这一章有关标准型的计算。或者选择直接阅读下面提的这本教材。
(b). Advanced Linear Algebra, Steve Roman
线性代数的专著，难度较大，对Tensor，标准型的讲解都非常严谨详细。本书一开始就是从module的角度去介绍向量空间的，这么做的优点是方便后面的推广，缺点则是对没学过抽象代数，不懂什么是P.I.D.的读者学起来可能有些难度。读者可以在阅读抽象代数教材的时候，跳过线性代数的章节，然后再来阅读这本书。本书涉及的内容远远超过一般理工科对线性代数的需求了，看这本书有些大材小用。但是，线性代数算是代数里最简单的一部分了，所以本书的难度相对其他方向的高等教材还算是可以接受的。
五. 实分析 （Real Analysis）
这部分内容主要涉及到抽象测度以及勒贝格积分，可以当作是黎曼积分的推广。北美教材的习惯是讲这部分内容的教材往往都会涉及到一些线性泛函的内容，这主要是因为有趣的Banach空间和Hilbert空间都和勒贝格积分有关。
我见过很多经济，工程，统计专业的小伙伴来数学系蹭实分析的课。据说，北美经济专业Ph.D.招生的时候，会偏好学过实分析的申请者。倒不是因为实分析在经济里有多么有用，主要是考虑到这门课的难度，招生委员会把这门课当作一个信号。意思是这么nb的数学我们可能用不到，但是申请者必须展现出处理这种难度的数学课程的能力。这大概就是内卷吧？
其实实分析没有传说中的那么难，分析的核心在于找到那个合适的 去做近似，陶哲轩在ams出版过一本博客文选的副标题就叫做“an
of room” ，很多证明的核心其实就是塞个无限小的数进去。实分析的主线是很清晰的，第一是定义测度，第二是定义积分。
*(a). Measure, Integration & Real Analysis, (Sheldon Axler)*
Axler写过另一本网红教材，Linear Algebra Done Right。本书是他19年新出的实分析教材。可读性非常高，证明完整清晰，排版舒适。是对读者最友好的的实分析入门教材。最后两章关于概率和傅立叶分析的内容可以跳过。
*(b). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, (Gerald B. Folland)*
UCLA的博士一年级实分析教材，非常经典。难度远高于Axler的教材。最后四章的应用可以跳过。很不幸笔者第一次学测度用的就是这本书，非常痛苦。本书一开始就从抽象测度开始讲，然后把实数上的测度作为一个特例，第一次学习测度的话可能会一头雾水。另外Folland证明写的非常简短，作者非常喜欢跳步骤。习题难度偏高。
*(c). Real Analysis, 4th edition, (Halsey Royden)*
本书分为三个部分，实数线上的测度与积分，抽象空间，抽象测度与积分。Royden也是经典的实分析教材，但是现在几乎没有大学用这本书来教博士生了。这主要是因为本书的节奏有些拖沓，同样的定理在实数上证明一遍，然后又在抽象空间的情况下再证明一遍。但是对于自学的同学，这反而是个优势。本书的第二部分是基础的泛函分析，是上述三本之中最详细的，很推荐阅读，对后面学习泛函分析的时候帮助很大。
实分析的教材涉及到的内容都大致相似，这三本教材也各有各的优势很难取舍，从难度上来排 Axler = Royden < Folland，但是Royden更啰嗦，同时Royden在泛函分析上的内容讲的最详细，读者可以根据需要自行选择。我个人感觉，在分析，拓扑，代数之中，分析的主线是最简单的，重要的结论也没有那么多，所以我推荐大家把这三本书都看一看。对于统计专业，经济专业的学生来说，一定要先看实分析，再去看高等概率，这样后者会变成一个温柔的小妹妹。对于工科专业来说，熟练掌握实分析里的诸多收敛定理，傅立叶分析会温柔的像个小姐姐。
六. 复分析 （Complex Analysis）
*(a). Complex Analysis, Thedore Gamelin*
标准的本科复分析教材，1-7章是复分析的核心，必读。流体力学方向的小伙伴可以把8-11章也读完，这之中第十一章涉及到了黎曼映射定理的证明，是复分析里一个重要的结论。但是本书关于黎曼映射定理的证明并不完整，里面引用了Arzela-Ascoli Theorem。这个定理的内容可以在Munkres里面找到。part3可以全部省略。
我个人是不太喜欢复分析的，复分析里很多有趣的结论都非常的偏向理论数学。所以我个人感觉非数学专业的小伙伴只要学完gamelin的前7章，了解复分析的主要结论和方法就可以了。对于复分析有特殊偏好的同学，可以去看Ahlfors的复分析著作，难度较高。另外还有Conway的复分析，本书是标准的博士一年级复分析教材，但是年代有些久远。另外还有Serge Lang的复分析，这本书涵盖了复分析的全部内容。 Ahlfors的主要问题是难度过大，Ahlfors写这本书的时候，他预设的读者是哈佛的学生。Conway要比Gamlin更严谨，但是可读性上远弱于Gamelin。Serge Lang的教材通常是作为reference去使用的，用来自学过于残忍。所以非数学专业的小伙伴只需要读完gamelin即可。
学复分析的时候要睁一只闭一只眼，比如没有Jordan Curve Theorem，我们是没办法严格的描述柯西定理的。但是为了Jordan Curve Theorem，去读代数拓扑的证明显然是得不偿失。
(b). Real and Complex Analysis, 3rd edition, Walter Rudin 选读
传说中的Papa Rudin，这本书前半部分是实分析，后半部分是复分析。实分析的部分写的一言难尽，如果你前面读了Baby Rudin，并且能接受Rudin的风格，那你也会喜欢这本书。我认为非数学专业的学生是没必要用Rudin折磨自己的，但是不可否认，本书确实有他独到的地方，因此还是放在这个书单里面了。后半部分的复分析对比Ahlfors，没有简单到哪里去。Rudin的观点非常高，一切内容都用最抽象，最general的情况来刻画，理工科专业的学生大多时候都不用到如此强力的工具。
在完成上述内容的学习之后，下面开始我们就要进入当代数学的核心了，请先阅读本文开头的第8条说明。个别教材过于离谱，可以当个笑话看。
七. 代数拓扑（Algebraic Geometry）
在开始学习代数拓扑之前，读者必须熟练掌握前文提到的Munkres中的1到4章，以及第9章，第11章可以选读。 同时读者要熟悉Dummit & Foote中有关群，环，模，域的章节。我强烈建议读者对范畴论有一定的了解，最好是读过前文提到的Paolo Aluffi，这对学习更高阶的代数拓扑有帮助。
*(a). Introduction to Topological Manifolds, 2nd edition,(John Lee)*
本书是华盛顿大学西雅图分校博士一年级的拓扑教材。本书涉及的内容与Munkres是一样的，不过John Lee的特色在于，本书以流形（Manifold）为主要例子，来介绍拓扑空间。流形是现代几何中最重要的研究对象，读过这本书可以无缝衔接后面对高阶几何课程的学习。另外本书第5章详细的介绍了Complex的构造。Complex作为代数拓扑中最常用的构造，对阅读下文所提到的Hatcher有巨大帮助。
*(b). Algebraic Topology, (Allen Hatcher)*
笔者只读过这么一本代数拓扑教材。本书是加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB）使用的拓扑教材，也是目前北美最主流的代数拓扑教材。这本书的风评比较极端，很多人认为这是最好的代数拓扑教材。我个人的感觉是，本书之所以在北美如此流行，和这本书不要钱有很大关系。Hatcher这本书非常注重直觉培养，经常把定义，定理混在一大段文字叙述之中，读惯了传统教材会有些不习惯。本书chapter 0中对CW complex的解释堪称灾难，另外从homology的章节开始，作者假设读者熟练掌握quotient space的各种特性，这部分内容偏偏是Munkres里涉及较少的。所以读者一定要读完John Lee之后才来看Hacther，不然绝对会被前30页劝退。我们会顺带用到同调代数，这里推荐同时阅读Paolo Aluffi的最后一章。理论上来说，Hacther这本书可以学个四五年。所以很多addtional topics对非数学专业来讲是可以跳过的。比如free group的subgroup也是free group这类的内容，其实对非数学专业来说是没有用的，所以跳过就好。物理专业的学生可以着重阅读同调代数和上同调的章节，也就是chapter 2&3。 Hacther的主要目的是建立直觉，所以没有在范畴论的框架下教学，但是对于代数拓扑这类十分抽象的学科，我觉得用比较具体的讲法来教是件好事。
我不推荐读者去阅读同调代数的专著，如果读者读完Paolo有关同调代数的章节觉得意犹未尽的话，可以考虑转专业。
八. 微分几何（Differential Geometry)
在学习这部分内容之前，我建议读者最好读完上面提到的Introduction to Topological Manifold，熟练使用线性代数，熟练掌握隐函数定理和反函数定理，熟练掌握本文第一部分提到的数学分析，最好对前文中提到的代数教材里有关Tensor一节的内容有所了解。
*(a). Introduction to Smooth Manifolds, (John Lee)*
John Lee三部曲的第二部，本书的主线是Smooth Manifold，也是微分几何的主要学习对象。本书涉及的内容非常广，读起来非常不容易，但是这本书包含了对Stokes‘ Theorem的严格证明，以及需要学习现代微分几何所需要的全部语言，因此十分重要。
*(b). An introduction to Manifolds, (Loring Tu)*
觉得John Lee的书太长的，可以去读Tu的这本书，本书的主线是让读者以最快的速度学习如何计算De Rham Cohomology, 同时学习光滑Manifold的特性。本书的难度要比John Lee略高，同时Tu喜欢用一些nonstandard notation，读者需要多加注意。
*(c). Differential Geometry: Connections Curvature, and Characteristic Classes, (Loring Tu)*
在读者熟练使用Manifold之后，就可以开始阅读这本微分几何的入门教材了。本书的难度在微分几何教材之中偏低，且篇幅不长，非常适合初学者入门。在这之后的微分几何教材，都难度偏高，这里超出了笔者的知识范围。在这之后还想进一步学习现代微分几何的，可以选择去读Spivak有关微分几何的专著。（学到这里还想往下看的，建议考虑转入数学专业。）
下面介绍两本比较特别的书。
*(d). Differential Forms in Algebraic Topology, (Raoul Bott, Loring Tu)*
就像书名提到的，本书其实是一本以De Rham Cohomology为主要例子的代数拓扑教材。之所以把这本书放在微分几何的书单里，是因为在阅读本书之前，读者最好了解De Rham Cohomology的计算，而这部分内容在我代数拓扑的书单里没有涉及，因此把这本书放在这部分内容讲。如果读者在学完Hatcher之后，对上同调还是一头雾水，可以在学完Hatcher，以及本章节的(a)或(b)之后，阅读本书，从而彻底理解上同调。本书可以作为Hatcher之后的一个补充。
*(e). Differential Geometry of Curves and Surfaces, (Manfredo P. do Carmo)*
现代微分几何的主要研究对象是流形，而流形其实是对一维的曲线以及二维的曲面做出的一个推广，也就是古典微分几何学习的内容。如果读者觉得Loring Tu中现代微分几何的内容过于抽象的话，可以选择同时阅读这本Do Carmno的经典著作。本书难度不高，只需要一定的拓扑与线性代数基础就可以阅读。但是这部分的内容实话实说，已经有些过时了。
对于微分几何，我认为理工科的学生只要了解(a)和(b)中的内容之后，就可以应对在科研中遇到的绝大多数几何问题了。(c)和(d)的内容都属于数学系博士的二三年级课程，难度较高，且收益有限，慎重阅读。如果感兴趣，一定要先问自己，这世上真没有什么其他更美好的事情值得你去做了吗？为什么不去谈场甜甜的恋爱呢。
九. 代数几何（Algebraic Geometry）
“二十世纪是代数几何的世纪。”------出自我研究生时的导师。当代数学的王牌，纯数最后的排面。如果Number Theory是数学的Queen，那么代数几何就是数学的King。 如果你的研究领域涉及到了代数几何的内容，我猜你的研究内容一定和拯救地球有关。如果你对这部分内容感兴趣，请考虑转入数学系。笔者选修过半年的代数几何，在这半年的学习当中，我唯一学到的事就是，人和人的差距比人和狗都大。出于本文完整性的考虑，我还是将代数几何的内容囊括在了本文的书单里。想要严格的学习代数几何，需要熟练的掌握前文提到的所有抽象代数的内容，最好是通读了Paolo Allufi， 熟练掌握点集拓扑，对流形有一定的熟悉。这里只推荐两本基础的教材，这两本教材都稍微有些冷门，都是笔者第一次学习代数几何时使用的教材，但是难度非常低，对初学者很友好，（相较来说）。两本教材要同步阅读。这两本书都可以在网上找到PDF，两本书均是免费。
*(a). Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, (William Fulton)*
本书不涉及格罗滕迪克所重构的代数几何，是最最基础的代数几何入门，只有一百多页。作者称，这是一本给本科生用的代数几何教材。我个人的建议是，在你脑子发热，决定读Robin Hartshorne之前，一定要先看看这本书。
*(b). A Term of Commutative Algebra, (Allen Altman, Steven Kleiman)*
交换代数是代数几何的语言，有时候我常常在想，难的不是代数几何，而是交换代数。本书是作者对Atiyah的经典交换代数的一个傻瓜版解读。作者称，这是一本给本科生用的交换代数教材。本书后半部分包含了全部习题的答案！是非常好的课后练习。而书的正文部分只有两百多页。
在读完上述两本书之后，想进一步了解代数几何的，可以直接去看Robin Harshorne的GTM52了。笔者硕士毕业于某三流大学，Robin Harshorne是我硕士导师读博时的导师。本人因为对这尘世间还有诸多留恋，因此不幸没有读过Hartshorne，此乃人生一大憾事。本书中有关交换代数的所有结论可以去参考David Eisenbud所著的GTM150.
十. 泛函分析（Functional Analysis）
泛函分析是所有最优化问题的终极解，读者在读完实分析部分中提到的任意一本教材之后就可以开始学习了（所需要的拓扑知识也涵盖在了前文提到的实分析教材中，因此理论上讲，读者不需要读Munkres）。另外我强烈建议读者在开始学习泛函分析之前，先读完线性代数中有关inner product space的章节。泛函分析在PDE以及傅立叶分析当中都有重要的应用。
*(a). Functional Analysis, (Peter Lax)*
标准的博士二三年级泛函分析教材，后半部分涉及到大量对PDE的应用，建议和PDE教材一起看。
*(b). Functional Analysis, (Walter Rudin)*
传说中的grandpa Rudin。难度有些离谱。Rudin一上来就开始讲Topological Vector Space，简直残忍。非数学专业的学生在多数情况下不需要用到这么强的工具。短短几百页，可能代表了一个人的几年大好光阴。Rudin这本书，是泛函分析中的究极圣经。圣经是摆在家里镇宅的，不是让你每天翻看的。你每天翻圣经，为什么不去信基督？
最后特别提及一套非常好的分析教材，普林斯顿的分析四部曲，作者是Elias M. Stein和Rami Shakarchi，前者是陶哲轩的导师。这套书依次涵盖了Fourier Analysis, Complex Analysis, Real Analysis以及Functional Analysis。 本书最大的特点是以傅立叶分析为主题，串联了分析的主要内容。对傅立叶分析有特殊需求的小伙伴，在阅读这套书的过程中，可以透彻的理解傅立叶分析的理论基础，并且难度不算高。在读完本文第一部分的数学分析内容之后，就可以直接开始阅读这套书。只对傅立叶分析那部分内容感兴趣的小伙伴，可以直接读这套书。本书泛函分析的部分非常初级，因此没有办法替代上述的教材。
以上十个章节，基本涵盖了现代纯数的主线。七到十章难度偏高，一定要有针对性的学习，否则秃头。 另外等有空的时候会再新开个帖子写一下有关概率，ODE，PDE这些不那么纯的数学的教材推荐。
一个不成熟书单：实分析和泛函分析
最近老是有人私信让我列书单，我把个人认为比较好的，面向初学者的书列出来。主要是实分析和泛函分析的，我也特别说明，如果你要学泛函，最好主要看哪些章节，还有一些童鞋表示自己实分析有点遗忘了，是否需要重新学过在来学泛函，我个人觉得没必要。很多泛函书上都有预备知识，里面罗列出的一些定理和定义，保证那些你能明白就可以了。后头学实分析不太实际，时间上不允许。如果大家对教材有什么要求请在评论区提问，我如果知道符号你们要求的教材我会更新回答。这也是我说此单不成熟的原因了。
数学分析和实分析：
数学分析其实选什么都差不多，比如华师那本也可以。但是，有很多补充的材料，我希望大家可以看一下：
“数学分析新讲”，基本也可以当教材用。
rudin的“数学分析原理”，我自己学数分的时候的补充教材，非常受用。里面很早的用了度量空间这些概念，这一点很好。
“陶哲轩实分析”，也不错，我喜欢的一点也是他的观点比较现代，很早的引入了度量空间，这样后面学泛函就简单多了。
"understanding analysis" by Stephen Abbott。这本书异常容易读，适合初学者，很受外国小盆友的欢迎，它把不懂无限的人慢慢教会。不知道国内有没有翻译，附上下载链接：
数学分析没什么重点不重点，全部都学，而且掌握好；对了，实数理论这一块虽然难懂，请弄懂它。
实分析：
其实国外的好用的实分析教材多多少少都会涉及到泛函分析，如果你用过这些教材，那么你学泛函入门肯定没啥痛苦，因为泛函的第一难关是“语言”。你得喜欢使用度量空间和拓扑这些东西。
Folland 的“real analysis-modern techniques and their applications” 这本书重点在前4-5章，后面的就是泛函分析的范畴了。之所以推荐它是因为它的处理方法比较现代，很早的提到了拓扑空间，还能顺便让你学一点基本的拓扑学知识。
Stein的real analysis。 如果你是想学实分析的范畴其实前三章就够用了。这是四本中的一本，他的写法就是在构建一个广泛联系的分析框架，所以这本书后续的内容更多的是我们一般意义上的泛函分析中的希尔伯特理论了。
Rudin的real analysis。 其实能把1-3,7,8看下来就差不多了，其他章节包含了泛函分析的基本内容。
泛函分析：
我在自己的专栏文章中写了一个详细的书单：
当然了，这个书单过于复杂了，对于初学者我首推两本：
这两个都很适合初学者，而且很适合用来自学，第一本书我不但自己买了，也安利了一群人买这本书，他们都说好用，上面的proof非常容易follow，例子多，习题多。亚马逊的价格好像是800块。
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"泛函分析"教材该选哪个？
泛函分析是一个研究pde好用的工具，好用到Evans的教材开头有这样一句话：
PDE theory is not a branch of functional analysis 偏微分方程理论不是泛函分析的一个分支
泛函的优点在于它为你处理很多问题提供一个公共的框架，比如“连续性方法”这种万金油，缺点是它提供的只是框架。能不能把细节填出来（各种先验估计）就是你的问题了，这些细节往往会涉及很硬的分析。这也是很多人调侃说丘成桐证明卡拉比猜想只是做了一道很难的分析习题的原因，当然我是不敢这样说的，下面是
关于这个问题精彩回答。
https://www.zhihu.com/question/24239308/answer/31278094
由于其重要性，泛函现在已经是本科高年级，研究生低年级必开的课。我现在介绍几个我看过的教材，列出其优缺点，希望有助于大家的学习。我会附上度盘链接，使得同学们能够下载电子版。让我们开始吧！Let us party！
既然要评价，自然要有客（zhu）观（guan）标准，我觉得下面几个点很重要。
应用度：泛函分析是有用的！这是一个必须让初学的人树立的观念，也是好的泛函分析教材的一大要求，为什么呢？因为泛函分析就其结果和术语来说非常抽象，这导致了很多人学习上的惰性。如果一个教材包含足够多的应用例子，不但可以激发学生的学习积极性，也能直接解释其理论的来源。你就能明白为什么数学家会使用和研究某个概念。就历史来看，泛函都是一些套路的总结。所谓：真情留不住，套路永流传。
可读性：泛函分析包含线性和非线性两部分。很多人提到的泛函分析是默认线性的，虽然我是认为两者是一个分类。线性泛函分析有一王一后：baire 纲定理和Hahn-Banach定理，和四大天王：open mapping, Banach-Steinhaus, closed range, closed graph, Mazur （你问为什么有五个，四天王有五个不是常理吗？）。
评价一个泛函分析教材的一个重要标准是看它是否能把它们的内在关系说明清楚，这就是清晰度和可读性。还有后续其他定理的安排。
全面度：说真的，泛函分析的内容非常丰富，线性泛函分析除了上面公共基础的部分外后面衍生出的东西就很多了，包含闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数。非线性泛函分析的更是包含了不动点理论，非线性单调算子，变分法，最优化等等。这个菜名可以一直报下去。随便一个部分拉开了讲都是一本（部）书的节奏。所以现实的讲，虽然大部分泛函分析的教材都300页起跳（我推荐的基本500页起跳），但是基本都是不全面的，各有侧重点。
习题：习题的重要性不言而喻，好的习题可以帮助自学的人增进对某个概念的理解，甚至习题本身就是一个定理。
I: Ciarlet 的“Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications”
应用度：5星，我见过的教材中应用之丰富的执牛耳者。什么都有！真的是什么都有，不过这也导致了这本书直接到了800页。
可读性：5星，大学3年纪以上看应该都没问题。写得清楚明白，证明过程非常清晰，几乎少有省略。虽然因此总长达到800页。当然了，估计本科生学完第一部分（线性泛函分析）就可以了。
全面度：4.5 星，很奇怪的。这本书对于很重要的无界闭算子谱理论介绍的很少很少。处理很多pde问题，它都是从非线性泛函分析（变分法，单调算子，不动点理论）的角度来处理的。还有，由于这位作者自己做过微分几何，他于是在里面硬塞了一章这方面的内容，也是够拼的。
习题：5 星， 401个习题，多到吓死我了。而且质量甚高。
综合评价：5星。推荐给大部分本科生和研究生初年，开始学习泛函分析的同学。
（我上过这位教授的开的泛函分析课程，估计在香港的博士生都去又一城大学上过他的课，他自己写的这本书确实不错。好到我最后买了正版让他帮我签名的程度。 ）
ii H. Brezis: "Functional Analysis, Sobolev spaces and PDEs"
综合评价：5星。推荐给大部分本科生和研究生第一年那些sobolev空间都不清楚的人，你顺带还可以学一些sobolev空间和简单的pde。（值得一提的是以上两位作者都是法国人，他们都和lions大神有点关系）
应用度：4星，没有上面那么丰富的应用，这本书其实只包含了线形泛函分析和一些基本的变分法。
可读性：（这书貌似有中文版）5星+1星。除了清晰的逻辑外，我额外给1星是因为它与时俱进，它处理问题的方法很现代也很新鲜。包括证明L^p的对偶空间，它使用的方法也比较少见。会特别讲一点凸分析的基础内容。而且里面自带Sobolev space。这一点对初学者非常友好。而且里面的材料选的也好，一些在现在比较实用的工具都做了初步的介绍。
全面度：3.5星，这不奇怪，这本书只有600页，花时间讲了很多基础的东西，所以也讲不了太多其他东西 (无界算子之类的)。值得一提的是，这本书讲了算子半群理论和此理论在抛物型方程，双曲方程上的应用。换句话来说，它把三个最基本的方程都处理了一遍。
习题：5 星+1星，不但有习题，还有答案。不要太好。
Zeilder: "Applied Functional analysis"I&II
综合评价：5星。这是写书狂魔，人肉名言字典，E. Zeilder的大作。此君写过一部5大卷《nonlinear functional analysis and its applications》,每一本都基本超过500页。他可能觉得这套书太长了，让人受不了，于是他好心的写了一套简略的书（总共900），没错，就是你看到的上面一套两部书。大师，你怎么这么有时间？最大的特点在于他写书的角度，大部分数学家写书都有一个倾向，倾向于系统性论述知识。此大神基本以物理为准绳，以应用为导向。量子物理，弹性力学，流体力学的方程统统搞一发。让你感觉好棒棒的，以后吹逼起来非常容易。
应用度：5星，理由说了。他的应用都是实打实的，解释了很多物理背景。
可读性：需要的基础也很少，学过实分析就可以看了。写得还是非常易懂的，还有，这个人喜欢写名人名言，每个章节开头必需来两个。还有，他是一个话痨，经常讲一些数学历史，他写五大卷我一般当（历史+物理）看。
全面度：4.5星，比较全面。基本包括了线性，非线性泛函分析的基本idea。
习题：4星。还不错，难一点的题目都有提示。
K. Yosida: "Functional Analysis"
综合评价： 这本书算是比较进阶的，前面的书基本可以归类为教材。这个书不是，这个书是大家写论文的时候放心引用的一本书。所以，不推荐给初学者，再看它之前最好学过一些泛函分析，推荐给希望进一步学习线形泛函分析理论的人。它上来就讨论（无界）闭算子（我记得70页左右吧），而不是一般的泛函分析那样喜欢从有界算子开始。当然了，从做研究的角度来看，闭算子理论更广泛，更有用。因为微分算子基本可以看成闭算子（空间选得好的话）。
应用度：4星，例子不少，但是基本也就是涵盖了了三类基本方程。
可读性：3星，不知道原版是用什么语言写成的，反正英语版读起来不是很舒服。证明过程有不少省略。
全面度：4.5星，几乎线性泛函分析的主流基本重要定理。
习题：0星。没有习题。 呵呵呵呵
Rudin: "Functional Analysis"
综合评价：逼格最高的一本，非常高冷，什么Banch space，Hilbert space都太trivial。它上来就是拓扑向量空间，一堆你基本在论文上都不太容易看到的术语。其实一般来说，做PDEs最常用就是banach空间，希尔伯特空间。最差用到度量空间就差不多了。很少需要退到拓扑向量空间。不推荐给初学者，不推荐给初学者，不推荐给初学者。其实rudin另外一本书里面反而提到了一些简单的泛函分析。
应用度： 3星。 里面的应用做到pde上的不多，反而是应用到一些其他数学问题。
可读性：3星。由于内容非常抽象，要提起精神看完比较难。
全面度：4.5星。这和yosida的倒是一样，几乎涵盖线性泛函分析的主流基本重要定理，但是很多都是写成最抽象形式。
习题：4星。保持了rudin的一贯高水平，但是没有答案，没有答案，没有答案！
最后附上度娘链接，里面包含了我推荐的上面全部五本书的pdf。大家看着办吧。
https://pan.baidu.com/s/1slUzZdV
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在推荐一波前几天在b站看的一个课程分享
数学专业优质网课推荐
前言
今天是 3.14，国际数学日。值此佳节，分享一下平常搜集的数学网课，大致可分为分析、代数、拓扑三部分。会附上个人关于课程的推荐语。当然由于时间关系，大部分没有看完，但是每个推荐均有进行学习。
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ps：
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- 以下课程如未注明，均为本科水平，因为我只是个本科生，所以主要收藏的也是本科水平的课程。
首先用一段话作为本篇的开始吧。
(摘自数学分析讲义-陈天权序言部分）
第二次世界大战之后移居美国的法国数学家 André Weil 于 1954 年在一篇指导芝加哥大学攻读数学的学生学习数学的题为”数学课程“的文章中写道：
”……传统的（指 20 世纪初期的）数学课程设置比较简单：二维和三维的解析几何，初等代数（即初等方程式论），……然后便是微积分及其在曲线及曲面理论上的应用. 微积分课程最终延伸和发展成复变函数论，……也许还要讨论一下椭圆函数的定义及他的一些数学公式，这样，学生便被认为是一个可以进行数学研究的成熟的数学家了“.
A. Weil 继续写道：
”很不幸，当今（指作者写该文的 1954 年）的数学教师和攻读数学的学生就不那么轻松了. 上述的课题仍然是基本的，但是远远不够了. 因此，必须想法设法地在较短的时间内完成更多的教学任务. 约半个世纪以来，抽象数学，或者公理化方法的发展清楚地告诉我们：数学，部分的说，是种语言. 这种语言必须赶上科学发展对它的需求，他有自身必须必须学习的语法和词汇. 近代数学的语法和词汇主要是由集合论，一般拓扑和代数提供的. ……虽然，这些内容也曾渗透到传统的微积分和几何的课程中，但因支离破碎地分散在不同数学分支的课文中而浪费大量时间.“
分析
数学分析
北京某高校《数学分析（二）》：第一讲~第五讲、北京某高校《数学分析（二）》：第六讲~第八讲
刘思齐老师的课程观点新颖，立意极高。只看过数分二，讲解极其的好。记得刘思齐老师说过一句话，大意是”数学分析这样的课，任何时间都不适合自学。“
http://siqiliu.com/
教材：卓里奇
【数学分析】一元微积分、【数学分析】多元微积分 by 皇贵妃太难当了
推荐理由详见我的这篇文章
高等微积分 数学分析原理【上】、高等微积分 数学分析原理【下】
对岸白啟光老师，NTCU 副教授，实力不用多说吧。
教材：baby rudin
看看多少学校用陈老先生的书做教材，就知道陈纪修老先生有多厉害，不多介绍
2015年12月23日，复旦大学数学系教授陈纪修为复旦大学数学科学学院本科二班上了一堂《数学分析》课，这也是他在复旦讲台的最后一节课，因为年满70岁的他光荣退休了。视频录制于2008年，据此推断，陈教授在录制这个视频的时候已经63岁了。然而在视频中，我完全看不出这是一个60多岁的长着。先生白头发很少，在三尺讲台上是那么年轻。那么有朝气，有活力。把每一句话讲授的话都书写在黑板上，试问放眼现在中国高校，有几人能做到。陈先生真不愧是老师的楷模。前几天看了一下陈先生的简介，才知道，先生曾经教授过复旦校史上被称为最牛班级的78届数学系的学生。我不进肃然起敬，佩服的五体投地。 最后只想告诫自己，好好听课，认真学习。祝先生身体健康，
中科大 史济怀 数学分析 最新音频重制版【一】、中科大 史济怀 数学分析 最新音频重制版【二】、中科大 史济怀 数学分析 最新音频重制版【三】
科大史济怀，确实很有科大风格
Walter Rudin—— Principles of Mathematical Analysis by Winston Ou
二十四小时学完分析，只需要一天的时间；只看了第一节，确实很有水平。今天这个李老师又更新了若干章节。不过没有看，不知道更新的是什么。
教材：baby rudin
Offical Lecture：http://community.scrippscollege.edu/wcwou/online-resources/class-notes/
【官方双语】微积分的本质 、【官方双语】你在微积分课上学不到的知识
3Blue1Brown 出品，懂得都懂。第一个我个人认为更像是高等数学，第二个是用变换的视角理解函数，强烈推荐第二个。
复分析
皇贵妃老师新作，仍然非常优秀。曾经在过年那几天一天更新三次，时常超过 9 小时。
教材：Ahlfors《Complex Analysis》
刘思齐老师复分析课程，第一节关于复数的引入非常新颖。不是因为解 x2+1=0 ，而是为了方程解的唯一性。同样也学到了原来古巴比伦在 3000 多年前都能解二次方程了。
复变函数 / 复分析 Complex Analysis (Stein)「一阶完结」
up 主为威斯康星交换生，该视频为其复分析学习记录。虽然深度不够，但是由于是学生讲解，所以很多初学者的困惑 up 主也会碰到，所以适合初学者。
教材：Complex Analysis, Stein
【官方双语】微分方程概论-第五章：在3.14分钟内理解e^iπ
3Blue1Brown 出品，主要是欧拉公式的直观演示。
NTU 复分析课程，齐震宇，从点集拓扑开始，引入复数系。
中文顶级课程，视频清晰，讲解清晰，思路清晰。
微分方程
【NCTU】偏微分方程导论、【微分方程】李荣耀 教授 – 台湾交通大学
NTCU 李榮耀先生的 pde 课程，面向的是大二上物理系，不过难度感觉比我们开的的 pde 要高。经典物理讲解思路，先从例子引入，大胆猜测，然后再证明。正如老师多的，由于是给大二非数学系讲解，理解上倒是很容易。微分方程没看过，但是就我听 pde 的经验，绝对不会差。
代数
线性代数
学线代不看这个视频真是遗憾，3Blue1Brown 成名作。
[线性代数应该这样学 // Linear Algebra Done Right 更新中]、无限维线性代数 
完结
同上，仍为 kumiko想要学分析的学习视频，第二个视频属于矩阵理论的范围。讲解清晰易懂，去年暑假时看完了第一个视频，很有收获。第二个视频我觉着更像是泛函分析的范畴了。
教材：Linear Algebra Done Right-Axler
我的线代讲解视频，同样是使用Linear Algebra Done Right，只有第一、二章内容，只有录课了才知道录课了才知道录课和给一个人讲解的差距有多大，录课有多难。详见这篇文章。
Sheldon Axler《Linear Algebra Done Right》
LInear Axler 的官方视频。
北大丘维声教授清华高等代数课程1080P高清修复版(全151集)
北大邱维生，这门课非常适合考研的学生使用。课程分文学知识的和过考试的，我认为虽然这门课也可以学到知识，但是更适用于过考试。这本教材非常的精彩，个人认为比王萼芳那本强太多了。
趙啟超 台大出品
大一的时候在物理系看的，只看了一半，具体讲解细节已经忘了，只记得关于矩阵乘法的运算方式和我大一线代不同，是按列算的。还有就是说高斯消元法是如此的简单，以至于同学们如果生的比高斯早，就轮不到高斯发明了。
近世代数
如题目，非常详细，张禾瑞的教材也是写的号称初中生就能读懂，所以非常适合自学。
完结kumiko想学分析关于群论的学习兼讲解视频，评价同上。
同调代数
学校还没学，所以就看了一个视频。
B 站 up 主：董水水不划水
也是学生录课，说实话，没看完，就看了第一章。说起来我发现我看的要么是大师讲解，要么就是初学者讲解。
表示论
北京大学丘维声教授群表示论课程1080P高清修复版(全158集)
这个是我这次推荐里面唯一一个没看过的，一直没时间看，先码上。
没见过有哪个本科开这门课，只知道研究生有个方向是表示论，极大概率为研究生水平。
拓扑
其实看前面数学分析那几位老师的课，都涉及了拓扑。而且学拓扑的时候恰巧是我课最多的时候，而且拓扑老师讲的很好，所以没有使用网课。
拓扑的一个视频，很有意思，适合初学者
应数
运筹学
【运筹学】应试向基础教程（已完结）{适用范围：本科期末、考研、考博}
正如标题说的，运筹学教程，第一个是应试向的，第二个是基础类的。如果是为了过期末考试，就用第一个就在足够；如果是为了考研/博，请用第二个。
我们运筹学老师上课就是划水呢，总是说自己或者朋友事，要不就是自己做了什么项目 balabala，一句话就是旁老师和他的一百个朋友的故事。多亏了这门课期末才过。
杂项
本部分主要介绍一些不是专业课但是却更重要的内容。
如何选择一本适合你的《数学分析》教科书？北京某高校数学老师为你揭示选书的秘密
刘思齐老师关于如何选择教科书/习题册的经验，可以了解 top 高校老师的思路，强烈推荐。
皇贵妃老师关于如何学好数学分析的经验，印象深刻的是老师说自己三次去北大没考上，最后无奈保研清华，也是一个系列视频。
介绍目前数学存在的缺陷-哥德尔不完备理论，即不存在一个系统可以判别所有命题。
Vectors & Dot Product • Math for Game Devs
主要是线代在游戏设计中的应用。Freya Holmér 发布了很多关于游戏设计的视频，推荐看这个关于 Bézier 曲线的视频，很好的兼顾了美感和专业性，如有相关兴趣请关注她的频道
其实不只学习苦，当打游戏成了任务，也就丧失游戏的乐趣。这点我深有感触，当初开始学游戏设计的时候，玩什么游戏都要分析游戏数值算法，或者是游戏设计对情感的调配，可以说完全没有快乐可言。
数学专业英语
HOW TO READ CALCULUS OUT LOUD! | LIMITS, DERIVATIVES & INTEGRAL SYMBOLS
数学符号用英语怎么念
网址：Pronunciation of mathematical symbols (uefap.com)
PDF文件：https://motionslow.cc/wp-content/uploads/2022/03/mathematical-symbols.pdf
结语
”在通俗读物中，任何科学知识都可以出现，但总是以一种十分粗略而含混的形式展现出来. 当然，这是基于这样的希望：将科学概念用大量的通俗语言稀释后，那些无法接受复杂概念的读者也会被科学词汇的填饱而心满意足. 这样，通过粗糙的阅读，学生可以不费思索地占有许多科学术语. 这种传授知识的方法给学生在造成的伤害，只有他（她）不得不放弃学习一门本来可以很好的学下去的学科时才会显现出来.
专业著述给人造成的伤害就要小得多，因为人们只在必要时才会认真阅读它. 在哪里，从基本方程的建立到书的结尾，每一页布满了带有上标和下标的符号，没有一段易懂的英语可以让读者喘口气的.“
数学专业课总是那么的难，以至于不用十分的力气用功学习都会有挂科的风险。这让我想起早先玩过一个游戏，里面有关于开锁的剧情，大致内容是在这样的
选自阿希莉亚支线剧情
阿希莉亚：钥匙？要打开这个很难，所以你不用思考这个。
指挥使：居然能打开的吗……要怎么才能打开呢？
再继续头昏脑热的讲下去总觉得会被阿希莉亚赶出门了，清醒点，清醒点。
阿希莉亚：需要勇气，智慧，渴求未知的精神，很高的意志，以及——
指挥使：以及？
阿希莉亚的脸上头一次露出有点儿微妙的笑容。
阿希莉亚：以及做梦的能力。
希望同学们在毕业以后也能保持对数学的热爱，拥有在做梦的能力。
转自:https://motionslow.cc/math/448/