Dag

DAG 即有向无环图，一些实际问题中的二元关系都可使用 DAG 来建模。

例子

以这道题为例子，来分析一下 DAG 建模的过程。

???+note " 例题 UVa 437 巴比伦塔 The Tower of Babylon" 有 $n (n\leqslant 30)$ 种砖块，已知三条边长，每种都有无穷多个。要求选一些立方体摞成一根尽量高的柱子（每个砖块可以自行选择一条边作为高），使得每个砖块的底面长宽分别严格小于它下方砖块的底面长宽，求塔的最大高度。

建立 DAG

由于每个砖块的底面长宽分别严格小于它下方砖块的底面长宽，因此不难将这样一种关系作为建图的依据，而本题也就转化为最长路问题。

也就是说如果砖块 $j$ 能放在砖块 $i$ 上，那么 $i$ 和 $j$ 之间存在一条边 $(i, j)$，且边权就是砖块 $j$ 所选取的高。

本题的另一个问题在于每个砖块的高有三种选法，怎样建图更合适呢？

不妨将每个砖块拆解为三种堆叠方式，即将一个砖块分解为三个砖块，每一个拆解得到的砖块都选取不同的高。

初始的起点是大地，大地的底面是无穷大的，则大地可达任意砖块，当然我们写程序时不必特意写上无穷大。

假设有两个砖块，三条边分别为 $31, 41, 59$ 和 $33, 83, 27$，那么整张 DAG 应该如下图所示。

图中蓝实框所表示的是一个砖块拆解得到的一组砖块，之所以用 ${}$ 表示底面边长，是因为砖块一旦选取了高，底面边长就是无序的。

图中黄虚框表示的是重复计算部分，为下文做铺垫。

转移

题目要求的是塔的最大高度，已经转化为最长路问题，其起点上文已指出是大地，那么终点呢？

显然终点已经自然确定，那就是某砖块上不能再搭别的砖块的时候。

之前在图上标记的黄虚框表明有重复计算，下面我们开始考虑转移方程。

显然，砖块一旦选取了高，那么这块砖块上最大能放的高度是确定的。

某个砖块 $i$ 有三种堆叠方式分别记为 $0, 1, 2$，那么对于砖块 $i$ 和其堆叠方式 $r$ 来说则有如下转移方程

$d(i, r) = \max\left{d(j, r') + h'\right}$

其中 $j$ 是所有那些在砖块 $i$ 以 $r$ 方式堆叠时可放上的砖块，$r'$ 对应 $j$ 此时的摆放方式，也就确定了此时唯一的高度 $h'$。

在实际编写时，将所有 $d(i, r)$ 都初始化为 $-1$，表示未计算过。

在试图计算前，如果发现已经计算过，直接返回保存的值；否则就按步计算，并保存。

最终答案是所有 $d(i, r)$ 的最大值。

题解

--8<-- "docs/dp/code/dag/dag_1.cpp"