Cartesian tree
本文介绍一种不太常用，但是与大家熟知的平衡树与堆密切相关的数据结构——笛卡尔树。
笛卡尔树是一种二叉树，每一个结点由一个键值二元组 $(k,w)$ 构成。要求 $k$ 满足二叉搜索树的性质，而 $w$ 满足堆的性质。一个有趣的事实是，如果笛卡尔树的 $k,w$ 键值确定，且 $k$ 互不相同，$w$ 互不相同，那么这个笛卡尔树的结构是唯一的。上图：
（图源自维基百科）
上面这棵笛卡尔树相当于把数组元素值当作键值 $w$，而把数组下标当作键值 $k$。显然可以发现，这棵树的键值 $k$ 满足二叉搜索树的性质，而键值 $w$ 满足小根堆的性质。
其实图中的笛卡尔树是一种特殊的情况，因为二元组的键值 $k$ 恰好对应数组下标，这种特殊的笛卡尔树有一个性质，就是一棵子树内的下标是连续的一个区间（这样才能满足二叉搜索树的性质）。更一般的情况则是任意二元组构建的笛卡尔树。
构建
栈构建
我们考虑将元素按照键值 $k$ 排序。然后一个一个插入到当前的笛卡尔树中。那么每次我们插入的元素必然在这个树的右链（右链：即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）的末端。于是我们执行这样一个过程，从下往上比较右链结点与当前结点 $u$ 的 $w$，如果找到了一个右链上的结点 $x$ 满足 $x_w<u_w$，就把 $u$ 接到 $x$ 的右儿子上，而 $x$ 原本的右子树就变成 $u$ 的左子树。
具体不解释，我们直接上图。图中红色框框部分就是我们始终维护的右链：
显然每个数最多进出右链一次（或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间）。这个过程我们可以用栈维护，栈中维护当前笛卡尔树的右链上的结点。一个点不在右链上了就把它弹掉。这样每个点最多进出一次，复杂度 $O(n)$。伪代码如下：
新建一个大小为 n 的空栈。用 top 来标操作前的栈顶，k 来标记当前栈顶。
For i := 1 to n
k := top
While 栈非空 且 栈顶元素 > 当前元素
k--
if 栈非空
栈顶元素.右儿子 := 当前元素
if k < top
当前元素.左儿子 := 栈顶元素
当前元素入栈
top := k
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int k = top;
while (k > 0 && h[stk[k]] > h[i]) k--;
if (k) rs[stk[k]] = i; // rs代表笛卡尔树每个节点的右儿子
if (k < top) ls[i] = stk[k + 1]; // ls代表笛卡尔树每个节点的左儿子
stk[++k] = i;
top = k;
}
笛卡尔树与 Treap
谈到笛卡尔树，很容易让人想到一种家喻户晓的结构——Treap。没错，Treap 是笛卡尔树的一种，只不过 $w$ 的值完全随机。Treap 也有线性的构建算法，如果提前将元素排好序，显然可以使用上述单调栈算法完成构建过程，只不过很少会这么用。
例题
HDU 1506 最大子矩形
题目大意：$n$ 个位置，每个位置上的高度是 $h_i$，求最大子矩阵。举一个例子，如下图：
阴影部分就是图中的最大子矩阵。
这道题你可 DP，可单调栈，但你万万没想到的是它也可以笛卡尔树！具体地，我们把下标作为键值 $k$，$h_i$ 作为键值 $w$ 满足小根堆性质，构建一棵 $(i,h_i)$ 的笛卡尔树。
这样我们枚举每个结点 $u$，把 $u_w$（即结点 $u$ 的高度键值 $h$）作为最大子矩阵的高度。由于我们建立的笛卡尔树满足小根堆性质，因此 $u$ 的子树内的结点的高度都大于等于 $u$。而我们又知道 $u$ 子树内的下标是一段连续的区间。于是我们只需要知道子树的大小，然后就可以算这个区间的最大子矩阵的面积了。用每一个点计算出来的值更新答案即可。显然这个可以一次 DFS 完成，因此复杂度仍是 $O(n)$ 的。
--8<-- "docs/ds/code/cartesian-tree/cartesian-tree_1.cpp"