Monotonous queue
在学习单调队列前，让我们先来看一道例题。
例题
本题大意是给出一个长度为 $n$ 的数组，编程输出每 $k$ 个连续的数中的最大值和最小值。
最暴力的想法很简单，对于每一段 $i \sim i+k-1$ 的序列，逐个比较来找出最大值（和最小值），时间复杂度约为 $O(n \times k)$。
很显然，这其中进行了大量重复工作，除了开头 $k-1$ 个和结尾 $k-1$ 个数之外，每个数都进行了 $k$ 次比较，而题中 $100\%$ 的数据为 $n \le 1000000$，当 $k$ 稍大的情况下，显然会 TLE。
这时所用到的就是单调队列了。
概念
顾名思义，单调队列的重点分为 "单调" 和 "队列"
"单调" 指的是元素的的 "规律"——递增（或递减）
"队列" 指的是元素只能从队头和队尾进行操作
Ps. 单调队列中的 "队列" 与正常的队列有一定的区别，稍后会提到
例题分析
有了上面 "单调队列" 的概念，很容易想到用单调队列进行优化。
要求的是每连续的 $k$ 个数中的最大（最小）值，很明显，当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时，若这个数比其前面（先进队）的数要大，显然，前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。
也就是说——当满足以上条件时，可将前面的数 "弹出"，再将该数真正 push 进队尾。
这就相当于维护了一个递减的队列，符合单调队列的定义，减少了重复的比较次数，不仅如此，由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的，队头必定是该查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。
显而易见的是，在这样的算法中，每个数只要进队与出队各一次，因此时间复杂度被降到了 $O(N)$。
而由于查询区间长度是固定的，超出查询空间的值再大也不能输出，因此还需要 site 数组记录第 $i$ 个队中的数在原数组中的位置，以弹出越界的队头。
例如我们构造一个单调递增的队列会如下：
原序列为：
1 3 -1 -3 5 3 6 7
因为我们始终要维护队列保证其 递增 的特点，所以会有如下的事情发生：
| 操作 | 队列状态 |
|---|---|
| 1 入队 | {1} |
| 3 比 1 大，3 入队 | {1 3} |
| -1 比队列中所有元素小，所以清空队列 -1 入队 | {-1} |
| -3 比队列中所有元素小，所以清空队列 -3 入队 | {-3} |
| 5 比 -3 大，直接入队 | {-3 5} |
| 3 比 5 小，5 出队，3 入队 | {-3 3} |
| -3 已经在窗体外，所以 -3 出队；6 比 3 大，6 入队 | {3 6} |
| 7 比 6 大，7 入队 | {3 6 7} |
???+ note "例题参考代码"
cpp
--8<-- "docs/ds/code/monotonous-queue/monotonous-queue_1.cpp"
Ps. 此处的 "队列" 跟普通队列的一大不同就在于可以从队尾进行操作，STL 中有类似的数据结构 deque。
???+ note "例题 2 Luogu P2698 Flowerpot S " 给出 $N$ 滴水的坐标，$y$ 表示水滴的高度，$x$ 表示它下落到 $x$ 轴的位置。每滴水以每秒 1 个单位长度的速度下落。你需要把花盆放在 $x$ 轴上的某个位置，使得从被花盆接着的第 1 滴水开始，到被花盆接着的最后 1 滴水结束，之间的时间差至少为 $D$。 我们认为，只要水滴落到 $x$ 轴上，与花盆的边沿对齐，就认为被接住。给出 $N$ 滴水的坐标和 $D$ 的大小，请算出最小的花盆的宽度 $W$。$1\leq N \leq 100000 , 1 \leq D \leq 1000000, 0 \leq x,y\leq 10^6$
将所有水滴按照 $x$ 坐标排序之后，题意可以转化为求一个 $x$ 坐标差最小的区间使得这个区间内 $y$ 坐标的最大值和最小值之差至少为 $D$。我们发现这道题和上一道例题有相似之处，就是都与一个区间内的最大值最小值有关，但是这道题区间的大小不确定，而且区间大小本身还是我们要求的答案。
我们依然可以使用一个递增，一个递减两个单调队列在 $R$ 不断后移时维护 $[L,R]$ 内的最大值和最小值，不过此时我们发现，如果 $L$ 固定，那么 $[L,R]$ 内的最大值只会越来越大，最小值只会越来越小，所以设 $f(R) = \max[L,R]-\min[L,R]$，则 $f(R)$ 是个关于 $R$ 的递增函数，故 $f(R)\geq D \Rightarrow f(r)\geq D,R\lt r \leq N$。这说明对于每个固定的 $L$，向右第一个满足条件的 $R$ 就是最优答案。 所以我们整体求解的过程就是，先固定 $L$，从前往后移动 $R$，使用两个单调队列维护 $[L,R]$ 的最值。当找到了第一个满足条件的 $R$，就更新答案并将 $L$ 也向后移动。随着 $L$ 向后移动，两个单调队列都需及时弹出队头。这样，直到 $R$ 移到最后，每个元素依然是各进出队列一次，保证了 $O(n)$ 的时间复杂度。
???+ note "参考代码"
cpp
--8<-- "docs/ds/code/monotonous-queue/monotonous-queue_2.cpp"