Persistent trie

可持久化 Trie 的方式和可持久化线段树的方式是相似的，即每次只修改被添加或值被修改的节点，而保留没有被改动的节点，在上一个版本的基础上连边，使最后每个版本的 Trie 树的根遍历所能分离出的 Trie 树都是完整且包含全部信息的。

大部分的可持久化 Trie 题中，Trie 都是以 01-Trie 的形式出现的。

??? note " 例题最大异或和" 对一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 维护以下操作：

1. 在数组的末尾添加一个数 $x$，数组的长度 $n$ 自增 $1$。
2. 给出查询区间 $[l,r]$ 和一个值 $k$，求当 $l\le p\le r$ 时，$k \oplus \bigoplus^{n}_{i=p} a_i$。

这个求的值可能有些麻烦，利用常用的处理连续异或的方法，记 $s_x=\bigoplus_{i=1}^x a_i$，则原式等价于 $s_{p-1}\oplus s_n\oplus k$，观察到 $s_n \oplus k$ 在查询的过程中是固定的，题目的查询变化为查询在区间 $[l-1,r-1]$ 中异或定值（$s_n\oplus k$）的最大值。

继续按类似于可持久化线段树的思路，考虑每次的查询都查询整个区间。我们只需把这个区间建一棵 Trie 树，将这个区间中的每个树都加入这棵 Trie 中，查询的时候，尽量往与当前位不相同的地方跳。

查询区间，只需要利用前缀和和差分的思想，用两棵前缀 Trie 树（也就是按顺序添加数的两个历史版本）相减即得到该区间的 Trie 树。再利用动态开点的思想，不添加没有计算过的点，以减少空间占用。

--8<-- "docs/ds/code/persistent-trie/persistent-trie_1.cpp"