Convex hull
二维凸包
凸多边形
凸多边形是指所有内角大小都在 $[0,\pi]$ 范围内的 简单多边形。
凸包
在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。
其定义为：对于给定集合 $X$，所有包含 $X$ 的凸集的交集 $S$ 被称为 $X$ 的 凸包。
实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。
凸包用最小的周长围住了给定的所有点。如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。
凸包的求法
常用的求法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法，这里主要介绍 Andrew 算法。
Andrew 算法求凸包
该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 为待求凸包点集的大小，同时复杂度的瓶颈也在于对所有点坐标的双关键字排序。
首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。
显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是“左拐”的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。
因为从左向右看，上下凸壳所旋转的方向不同，为了让单调栈起作用，我们首先 升序枚举 求出下凸壳，然后 降序 求出上凸壳。
求凸壳时，一旦发现即将进栈的点（$P$）和栈顶的两个点（$S_1,S_2$，其中 $S_1$ 为栈顶）行进的方向向右旋转，即叉积小于 $0$：$\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$，则弹出栈顶，回到上一步，继续检测，直到 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0$ 或者栈内仅剩一个元素为止。
通常情况下不需要保留位于凸包边上的点，因此上面一段中 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$ 这个条件中的“$<$”可以视情况改为 $\le$，同时后面一个条件应改为 $>$。
???+note "代码实现"
cpp
// C++ Version
// stk[] 是整型，存的是下标
// p[] 存储向量或点
tp = 0; // 初始化栈
std::sort(p + 1, p + 1 + n); // 对点进行排序
stk[++tp] = 1;
// 栈内添加第一个元素，且不更新 used，使得 1 在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
while (tp >= 2 // 下一行 * 操作符被重载为叉积
&& (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
used[stk[tp--]] = 0;
used[i] = 1; // used 表示在凸壳上
stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp; // tmp 表示下凸壳大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
if (!used[i]) {
// ↓求上凸壳时不影响下凸壳
while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
used[stk[tp--]] = 0;
used[i] = 1;
stk[++tp] = i;
}
for (int i = 1; i <= tp; ++i) // 复制到新数组中去
h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;
```python
# Python Version
stk = [] # 是整型，存的是下标
p = [] # 存储向量或点
tp = 0 # 初始化栈
p.sort() # 对点进行排序
stk[tp] = 1
tp = tp + 1
# 栈内添加第一个元素，且不更新 used，使得 1 在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for i in range(2, n + 1):
while tp >= 2 and (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0:
# 下一行 * 操作符被重载为叉积
used[stk[tp]] = 0
tp = tp - 1
used[i] = 1 # used 表示在凸壳上
stk[tp] = i
tp = tp + 1
tmp = tp # tmp 表示下凸壳大小
for i in range(n - 1, 0, -1):
if used[i] == False:
# ↓求上凸壳时不影响下凸壳
while tp > tmp and (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0:
used[stk[tp]] = 0
tp = tp - 1
used[i] = 1
stk[tp] = i
tp = tp + 1
for i in range(1, tp + 1):
h[i] = p[stk[i]]
ans = tp - 1
```
根据上面的代码，最后凸包上有 $\textit{ans}$ 个元素（额外存储了 $1$ 号点，因此 $h$ 数组中有 $\textit{ans}+1$ 个元素），并且按逆时针方向排序。周长就是
$$ \sum_{i=1}^{\textit{ans}}\left|\overrightarrow{h_ih_{i+1}}\right| $$