2 sat
SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。
定义
2-SAT，简单的说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $
现实意义
比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。
使用布尔方程表示上述问题。设 $a$ 表示 A 先生去参加，那么 B 女士就不能参加（$\neg a$)；$b$ 表示 C 女士参加，那么 $\neg b$ 也一定成立（D 先生不参加）。总结一下，即 $(a \vee b)$（变量 $a, b$ 至少满足一个）。对这些变量关系建有向图，则有：$\neg a\Rightarrow b\wedge\neg b\Rightarrow a$（$a$ 不成立则 $b$ 一定成立；同理，$b$ 不成立则 $a$ 一定成立）。建图之后，我们就可以使用缩点算法来求解 2-SAT 问题了。
常用解决方法
Tarjan SCC 缩点
算法考究在建图这点，我们举个例子来讲：
假设有 ${a1,a2}$ 和 ${b1,b2}$ 两对，已知 $a1$ 和 $b2$ 间有矛盾，于是为了方案自洽，由于两者中必须选一个，所以我们就要拉两条有向边 $(a1,b1)$ 和 $(b2,a2)$ 表示选了 $a1$ 则必须选 $b1$，选了 $b2$ 则必须选 $a2$ 才能够自洽。
然后通过这样子建边我们跑一遍 Tarjan SCC 判断是否有一个集合中的两个元素在同一个 SCC 中，若有则输出不可能，否则输出方案。构造方案只需要把几个不矛盾的 SCC 拼起来就好了。
输出方案时可以通过变量在图中的拓扑序确定该变量的取值。如果变量 $\neg x$ 的拓扑序在 $x$ 之后，那么取 $x$ 值为真。应用到 Tarjan 算法的缩点，即 $x$ 所在 SCC 编号在 $\neg x$ 之前时，取 $x$ 为真。因为 Tarjan 算法求强连通分量时使用了栈，所以 Tarjan 求得的 SCC 编号相当于反拓扑序。
显然地，时间复杂度为 $O(n+m)$。
暴搜
就是沿着图上一条路径，如果一个点被选择了，那么这条路径以后的点都将被选择，那么，出现不可行的情况就是，存在一个集合中两者都被选择了。
那么，我们只需要枚举一下就可以了，数据不大，答案总是可以出来的。
??? note "暴搜模板"
```cpp
// 来源：刘汝佳白书第 323 页
struct Twosat {
int n;
vector
bool dfs(int x) {
if (mark[x ^ 1]) return false;
if (mark[x]) return true;
mark[x] = true;
s[c++] = x;
for (int i = 0; i < (int)g[x].size(); i++)
if (!dfs(g[x][i])) return false;
return true;
}
void init(int n) {
this->n = n;
for (int i = 0; i < n * 2; i++) g[i].clear();
memset(mark, 0, sizeof(mark));
}
void add_clause(int x, int y) { // 这个函数随题意变化
g[x].push_back(y ^ 1); // 选了 x 就必须选 y^1
g[y].push_back(x ^ 1);
}
bool solve() {
for (int i = 0; i < n * 2; i += 2)
if (!mark[i] && !mark[i + 1]) {
c = 0;
if (!dfs(i)) {
while (c > 0) mark[s[--c]] = false;
if (!dfs(i + 1)) return false;
}
}
return true;
}
};
```
例题
HDU3062 Party
题面：有 n 对夫妻被邀请参加一个聚会，因为场地的问题，每对夫妻中只有 $1$ 人可以列席。在 $2n$ 个人中，某些人之间有着很大的矛盾（当然夫妻之间是没有矛盾的），有矛盾的 $2$ 个人是不会同时出现在聚会上的。有没有可能会有 $n$ 个人同时列席？
这是一道多校题，裸的 2-SAT 判断是否有方案，按照我们上面的分析，如果 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的妻子不合，我们就把 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的丈夫连边，把 $a2$ 中的妻子和 $a1$ 中的妻子连边，然后缩点染色判断即可。
??? note "参考代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/2-sat/2-sat_1.cpp"
2018-2019 ACM-ICPC Asia Seoul Regional K TV Show Game
题面：有 $k(k>3)$ 盏灯，每盏灯是红色或者蓝色，但是初始的时候不知道灯的颜色。有 $n$ 个人，每个人选择 3 盏灯并猜灯的颜色。一个人猜对两盏灯或以上的颜色就可以获得奖品。判断是否存在一个灯的着色方案使得每个人都能领奖，若有则输出一种灯的着色方案。
这道题在判断是否有方案的基础上，在有方案时还要输出一个可行解。
根据 伍昱 -《由对称性解 2-sat 问题》，我们可以得出：如果要输出 2-SAT 问题的一个可行解，只需要在 tarjan 缩点后所得的 DAG 上自底向上地进行选择和删除。
具体实现的时候，可以通过构造 DAG 的反图后在反图上进行拓扑排序实现；也可以根据 tarjan 缩点后，所属连通块编号越小，节点越靠近叶子节点这一性质，优先对所属连通块编号小的节点进行选择。
下面给出第二种实现方法的代码。
??? note "参考代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/2-sat/2-sat_2.cpp"
练习题
POJ3683 牧师忙碌日