Cut
相关阅读：双连通分量，
割点和桥更严谨的定义参见 图论相关概念。
割点
对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。
如何实现？
如果我们尝试删除每个点，并且判断这个图的连通性，那么复杂度会特别的高。所以要介绍一个常用的算法：Tarjan。
首先，我们上一个图：
很容易的看出割点是 2，而且这个图仅有这一个割点。
首先，我们按照 DFS 序给他打上时间戳（访问的顺序）。
这些信息被我们保存在一个叫做 num 的数组中。
还需要另外一个数组 low，用它来存储不经过其父亲能到达的最小的时间戳。
例如 low[2] 的话是 1，low[5] 和 low[6] 是 3。
然后我们开始 DFS，我们判断某个点是否是割点的根据是：对于某个顶点 $u$，如果存在至少一个顶点 $v$（$u$ 的儿子），使得 $low_v \geq num_u$，即不能回到祖先，那么 $u$ 点为割点。
另外，如果搜到了自己（在环中），如果他有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了，如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环，从树上来讲它有 2 个儿子：
我们在访问 1 的儿子时候，假设先 DFS 到了 2，然后标记用过，然后递归往下，来到了 4，4 又来到了 3，当递归回溯的时候，会发现 3 已经被访问过了，所以不是割点。
更新 low 的伪代码如下：
如果 v 是 u 的儿子 low[u] = min(low[u], low[v]);
否则
low[u] = min(low[u], num[v]);
例题
??? "例题代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/cut/cut_1.cpp"
割边
和割点差不多，叫做桥。
对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。严谨来说，就是：假设有连通图 $G={V,E}$，$e$ 是其中一条边（即 $e \in E$），如果 $G-e$ 是不连通的，则边 $e$ 是图 $G$ 的一条割边（桥）。
比如说，下图中，
红色的边就是割边。
实现
和割点差不多，只要改一处：$low_v>num_u$ 就可以了，而且不需要考虑根节点的问题。
割边是和是不是根节点没关系的，原来我们求割点的时候是指点 $v$ 是不可能不经过父节点 $u$ 为回到祖先节点（包括父节点），所以顶点 $u$ 是割点。如果 $low_v=num_u$ 表示还可以回到父节点，如果顶点 $v$ 不能回到祖先也没有另外一条回到父亲的路，那么 $u-v$ 这条边就是割边。
代码实现
下面代码实现了求割边，其中，当 isbridge[x] 为真时，(father[x],x) 为一条割边。
// C++ Version
int low[MAXN], dfn[MAXN], iscut[MAXN], dfs_clock;
bool isbridge[MAXN];
vector<int> G[MAXN];
int cnt_bridge;
int father[MAXN];
void tarjan(int u, int fa) {
father[u] = fa;
low[u] = dfn[u] = ++dfs_clock;
for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if (!dfn[v]) {
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if (low[v] > dfn[u]) {
isbridge[v] = true;
++cnt_bridge;
}
} else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
# Python Version
low = [] * MAXN; dfn = [] * MAXN; iscut = [] * MAXN; dfs_clock = 0
isbridge = [False] * MAXN
G = [[0 for i in range(MAXN)] for j in range(MAXN)]
cnt_bridge = 0
father = [] * MAXN
def tarjan(u, fa):
father[u] = fa
low[u] = dfn[u] = dfs_clock
dfs_clock = dfs_clock + 1
for i in range(0, len(G[u])):
v = G[u][i]
if dfn[v] == False:
tarjan(v, u)
low[u] = min(low[u], low[v])
if low[v] > dfn[u]:
isbridge[v] = True
cnt_bridge = cnt_bridge + 1
elif dfn[v] < dfn[u] and v != fa:
low[u] = min(low[u], dfn[v])
练习
Tarjan 算法还有许多用途，常用的例如求强连通分量，缩点，还有求 2-SAT 的用途等。