Min cut
概念
割
对于一个网络流图 $G=(V,E)$，其割的定义为一种 点的划分方式：将所有的点划分为 $S$ 和 $T=V-S$ 两个集合，其中源点 $s\in S$，汇点 $t\in T$。
割的容量
我们的定义割 $(S,T)$ 的容量 $c(S,T)$ 表示所有从 $S$ 到 $T$ 的边的容量之和，即 $c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)$。当然我们也可以用 $c(s,t)$ 表示 $c(S,T)$。
最小割
最小割就是求得一个割 $(S,T)$ 使得割的容量 $c(S,T)$ 最小。
证明
最大流最小割定理
定理：$f(s,t){\max}=c(s,t){\min}$
对于任意一个可行流 $f(s,t)$ 的割 $(S,T)$，我们可以得到：
$$ f(s,t)=S\text{出边的总流量}-S\text{入边的总流量}\le S\text{出边的总流量}=c(s,t) $$
如果我们求出了最大流 $f$，那么残余网络中一定不存在 $s$ 到 $t$ 的增广路经，也就是 $S$ 的出边一定是满流，$S$ 的入边一定是零流，于是有：
$$ f(s,t)=S\text{出边的总流量}-S\text{入边的总流量}=S\text{出边的总流量}=c(s,t) $$
结合前面的不等式，我们可以知道此时 $f$ 已经达到最大。
代码
最小割
通过 最大流最小割定理，我们可以直接得到如下代码：
??? "参考代码"
```cpp
#include
const int N = 1e4 + 5, M = 2e5 + 5;
int n, m, s, t, tot = 1, lnk[N], ter[M], nxt[M], val[M], dep[N], cur[N];
void add(int u, int v, int w) {
ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, val[tot] = w;
}
void addedge(int u, int v, int w) { add(u, v, w), add(v, u, 0); }
int bfs(int s, int t) {
memset(dep, 0, sizeof(dep));
memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
std::queue<int> q;
q.push(s), dep[s] = 1;
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
int v = ter[i];
if (val[i] && !dep[v]) q.push(v), dep[v] = dep[u] + 1;
}
}
return dep[t];
}
int dfs(int u, int t, int flow) {
if (u == t) return flow;
int ans = 0;
for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
int v = ter[i];
if (val[i] && dep[v] == dep[u] + 1) {
int x = dfs(v, t, std::min(val[i], flow - ans));
if (x) val[i] -= x, val[i ^ 1] += x, ans += x;
}
}
if (ans < flow) dep[u] = -1;
return ans;
}
int dinic(int s, int t) {
int ans = 0;
while (bfs(s, t)) {
int x;
while ((x = dfs(s, t, 1 << 30))) ans += x;
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
while (m--) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
addedge(u, v, w);
}
printf("%d\n", dinic(s, t));
return 0;
}
```
方案
我们可以通过从源点 $s$ 开始 DFS，每次走残量大于 $0$ 的边，找到所有 $S$ 点集内的点。
void dfs(int u) {
vis[u] = 1;
for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
int v = ter[i];
if (!vis[v] && val[i]) dfs(v);
}
}
割边数量
只需要将每条边的容量变为 $1$，然后重新跑 Dinic 即可。 ???+ warning 这个割边数量并没有保证是在最小割的前提下，所以最下方的例题不能做如此简单的处理。具体解法可以参见题解，不要被这句话误导了。
问题模型
有 $n$ 个物品和两个集合 $A,B$，如果将一个物品放入 $A$ 集合会花费 $a_i$，放入 $B$ 集合会花费 $b_i$；还有若干个形如 $u_i,v_i,w_i$ 限制条件，表示如果 $u_i$ 和 $v_i$ 同时不在一个集合会花费 $w_i$。每个物品必须且只能属于一个集合，求最小的代价。
这是一个经典的 二者选其一 的最小割题目。我们对于每个集合设置源点 $s$ 和汇点 $t$，第 $i$ 个点由 $s$ 连一条容量为 $a_i$ 的边、向 $t$ 连一条容量为 $b_i$ 的边。对于限制条件 $u,v,w$，我们在 $u,v$ 之间连容量为 $w$ 的双向边。
注意到当源点和汇点不相连时，代表这些点都选择了其中一个集合。如果将连向 $s$ 或 $t$ 的边割开，表示不放在 $A$ 或 $B$ 集合，如果把物品之间的边割开，表示这两个物品不放在同一个集合。
最小割就是最小花费。