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Graph match

匹配 或是 独立边集 是一张图中没有公共边的集合。 在二分图中求匹配等价于网路流问题。

图匹配算法是信息学竞赛中常用的算法，总体分为最大匹配以及最大权匹配，先从二分图开始介绍，在进一步提出一般图的作法。

图的匹配

在图论中，假设图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是点集，$E$ 是边集。

一组两两没有公共点的边集 $(M(M\in E))$ 称为这张图的 匹配。

定义匹配的大小为其中边的数量 $|M|$，其中边数最大的 $M$ 为 最大匹配。

当图中的边带权的时候，边权和最大的为 最大权匹配。

匹配中的边称为 匹配边，反之称为 未匹配边。

一个点如果属于 $M$ 且为至多一条边的端点，称为 匹配点，反之称为 未匹配点。

  • maximal matching: 无法再增加匹配边的匹配。不见得是最大匹配。
  • 最大匹配（maximum matching): 匹配数最多的匹配。
  • 完美匹配（perfect matching): 所有点都属于匹配，同时也符合最大匹配。

  • 近完美匹配（near-perfect matching): 发生在图的点数为奇数，刚好只有一个点不在匹配中，扣掉此点以后的图称为 factor-critical graph。

    maximal matching graph-match-1 最大匹配 graph-match-2

二分图匹配

一张二分图上的匹配称作二分匹配

设 $G$ 为二分图，若在 $G$ 的子图 $M$ 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 $M$ 为二分图 $G$ 的一个匹配，且 $M$ 的边数为匹配数。

完美匹配

设 $G=$ 为二分图，$|V_1| \leq |V_2|$，$M$ 为 $G$ 中一个最大匹配，且 $|M|=|V_1|$，则称 $M$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的完美匹配。

霍尔定理

设二分图 $G=, |V_1| \leq |V_2|$，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完美匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$，均有 $|S|\leq|N(S)|$，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$，是 $S$ 的邻域。

最大匹配

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

算法

组合优化中的一个基本问题是求 最大匹配（maximum matching)。

二分图最大匹配

详见 二分图最大匹配 页面。

在无权二分图中，Hopcroft-Karp 算法可在 $O(\sqrt{V}E)$ 解决。

二分图最大权匹配

详见 二分图最大权匹配 页面。

在带权二分图中，可用 Hungarian 算法解决。 如果在最短路搜寻中用 Bellman–Ford 算法，时间复杂度为 $O(V^2E)$， 如果用 Dijkstra 算法或 Fibonacci heap，可用 $O(V^{2}\log {V}+VE)$ 解决。

一般图最大匹配

详见 一般图最大匹配 页面。

无权一般图中，Edmonds' blossom 算法可在 $O(V^2E)$ 解决。

一般图最大权匹配

详见 一般图最大权匹配 页面。

带权一般图中，Edmonds' blossom 算法可在 $O(V^2E)$ 解决。

参考资料