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Kth path

问题描述

给定一个有 $n$ 个结点，$m$ 条边的有向图，求从 $s$ 到 $t$ 的所有不同路径中的第 $k$ 短路径的长度。

A*算法

A*算法定义了一个对当前状态 $x$ 的估价函数 $f(x)=g(x)+h(x)$，其中 $g(x)$ 为从初始状态到达当前状态的实际代价，$h(x)$ 为从当前状态到达目标状态的最佳路径的估计代价。每次取出 $f(x)$ 最优的状态 $x$，扩展其所有子状态，可以用 优先队列 来维护这个值。

在求解 $k$ 短路问题时，令 $h(x)$ 为从当前结点到达终点 $t$ 的最短路径长度。可以通过在反向图上对结点 $t$ 跑单源最短路预处理出对每个结点的这个值。

由于设计的距离函数和估价函数，对于每个状态需要记录两个值，为当前到达的结点 $x$ 和已经走过的距离 $g(x)$，将这种状态记为 $(x,g(x))$。

开始我们将初始状态 $(s,0)$ 加入优先队列。每次我们取出估价函数 $f(x)=g(x)+h(x)$ 最小的一个状态，枚举该状态到达的结点 $x$ 的所有出边，将对应的子状态加入优先队列。当我们访问到一个结点第 $k$ 次时，对应的状态的 $g(x)$ 就是从 $x$ 到该结点的第 $k$ 短路。

优化：由于只需要求出从初始结点到目标结点的第 $k$ 短路，所以已经取出的状态到达一个结点的次数大于 $k$ 次时，可以不扩展其子状态。因为之前 $k$ 次已经形成了 $k$ 条合法路径，当前状态不会影响到最后的答案。

当图的形态是一个 $n$ 元环的时候，该算法最坏是 $O(nk\log n)$ 的。但是这种算法可以在相同的复杂度内求出从起始点 $s$ 到每个结点的前 $k$ 短路。

参考实现

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
const int maxm = 400010;
const int inf = 2e9;
int n, m, s, t, k, u, v, ww, H[maxn], cnt[maxn];
int cur, h[maxn], nxt[maxm], p[maxm], w[maxm];
int cur1, h1[maxn], nxt1[maxm], p1[maxm], w1[maxm];
bool tf[maxn];

void add_edge(int x, int y, double z) {
  cur++;
  nxt[cur] = h[x];
  h[x] = cur;
  p[cur] = y;
  w[cur] = z;
}

void add_edge1(int x, int y, double z) {
  cur1++;
  nxt1[cur1] = h1[x];
  h1[x] = cur1;
  p1[cur1] = y;
  w1[cur1] = z;
}

struct node {
  int x, v;

  bool operator<(node a) const { return v + H[x] > a.v + H[a.x]; }
};

priority_queue<node> q;

struct node2 {
  int x, v;

  bool operator<(node2 a) const { return v > a.v; }
} x;

priority_queue<node2> Q;

int main() {
  scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t, &k);
  while (m--) {
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &ww);
    add_edge(u, v, ww);
    add_edge1(v, u, ww);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) H[i] = inf;
  Q.push({t, 0});
  while (!Q.empty()) {
    x = Q.top();
    Q.pop();
    if (tf[x.x]) continue;
    tf[x.x] = true;
    H[x.x] = x.v;
    for (int j = h1[x.x]; j; j = nxt1[j]) Q.push({p1[j], x.v + w1[j]});
  }
  q.push({s, 0});
  while (!q.empty()) {
    node x = q.top();
    q.pop();
    cnt[x.x]++;
    if (x.x == t && cnt[x.x] == k) {
      printf("%d\n", x.v);
      return 0;
    }
    if (cnt[x.x] > k) continue;
    for (int j = h[x.x]; j; j = nxt[j]) q.push({p[j], x.v + w[j]});
  }
  printf("-1\n");
  return 0;
}

可持久化可并堆优化 k 短路算法

最短路树与任意路径的关系与性质

在反向图上从 $t$ 开始跑最短路，设在原图上结点 $x$ 到 $t$ 的最短路长度为 $dist_x$，建出 任意 一棵以 $t$ 为根的最短路树 $T$。

所谓最短路径树，就是满足从树上的每个结点 $x$ 到根节点 $t$ 的简单路径都是 $x$ 到 $t$ 的 其中 一条最短路径。

设一条从 $s$ 到 $t$ 的路径经过的边集为 $P$，去掉 $P$ 中与 $T$ 的交集得到 $P'$。

$P'$ 有如下性质：

  1. 对于一条不在 $T$ 上的边 $e$，其为从 $u$ 到 $v$ 的一条边，边权为 $w$，定义其代价 $\Delta e=dist_v+w-dist_u$，即为选择该边后路径长度的增加量。则路径 $P$ 的长度 $L_P=dist_s+\sum_{e\in P'} \Delta e$。

  2. 将 $P$ 和 $P'$ 中的所有边按照从 $s$ 到 $t$ 所经过的顺序依次排列，则对于 $P'$ 中相邻的两条边 $e_1,e_2$，有 $u_{e_2}$ 与 $v_{e_1}$ 相等或为其在 $T$ 上的祖先。因为在 $P$ 中 $e_1,e_2$ 直接相连或中间都为树边。

  3. 对于一个确定存在的 $P'$，有且仅有一个 $S$，使得 $S'=P'$。因为由于性质 $2$，$P'$ 中相邻的两条边的起点和终点之间在 $T$ 上只有一条路径。

问题转化

性质 $1$ 告诉我们知道集合 $P'$ 后，如何求出 $L_P$ 的值。

性质 $2$ 告诉我们所有 $P'$ 一定满足的条件，所有满足这个条件的边集 $P'$ 都是合法的，也就告诉我们生成 $P'$ 的方法。

性质 $3$ 告诉我们对于每个合法的 $P'$ 有且仅有一个边集 $P$ 与之对应。

那么问题转化为：求 $L_P$ 的值第 $k$ 小的满足性质 $2$ 的集合 $P'$。

算法描述

由于性质 $2$，我们可以记录按照从 $s$ 到 $t$ 的顺序排列的最后一条边和 $L_P$ 的值，来表示一个边集 $P'$。

我们用一个小根堆来维护这样的边集 $P'$。

初始我们将起点为 $1$ 或 $1$ 在 $T$ 上的祖先的所有的边中 $\Delta e$ 最小的一条边加入小根堆。

每次取出堆顶的一个边集 $S$，有两种方法可以生成可能的新边集：

  1. 替换 $S$ 中的最后一条边为满足相同条件的 $\Delta e$ 更大的边。

  2. 在最后一条边后接上一条边，设 $x$ 为 $S$ 中最后一条边的终点，由性质 $2$ 可得这条边需要满足其起点为 $x$ 或 $x$ 在 $T$ 上的祖先。

将生成的新边集也加入小根堆。重复以上操作 $k-1$ 次后求出的就是从 $s$ 到 $t$ 的第 $k$ 短路。

对于每个结点 $x$，我们将以其为起点的边的 $\Delta e$ 建成一个小根堆。为了方便查找一个结点 $x$ 与 $x$ 在 $T$ 上的祖先在小根堆上的信息，我们将这些信息合并在一个编号为 $x$ 的小根堆上。回顾以上生成新边集的方法，我们发现只要我们把紧接着可能的下一个边集加入小根堆，并保证这种生成方法可以覆盖所有可能的边集即可。记录最后选择的一条边在堆上对应的结点 $t$，有更优的方法生成新的边集：

  1. 替换 $S$ 中的最后一条边为 $t$ 在堆上的左右儿子对应的边。

  2. 在最后一条边后接上一条新的边，设 $x$ 为 $S$ 中最后一条边的终点，则接上编号为 $x$ 的小根堆的堆顶结点对应的边。

用这种方法，每次生成新的边集只会扩展出最多三个结点，小根堆中的结点总数是 $O(n+k)$。

所以此算法的瓶颈在合并一个结点与其在 $T$ 上的祖先的信息，如果使用朴素的二叉堆，时间复杂度为 $O(nm\log m)$，空间复杂度为 $O(nm)$；如果使用可并堆，每次仍然需要复制堆中的全部结点，时间复杂度同样无法承受。

可持久化可并堆优化

在阅读本内容前，请先了解 可持久化可并堆 的相关知识。

使用可持久化可并堆优化合并一个结点与其在 $T$ 上的祖先的信息，
每次将一个结点与其在 $T$ 上的父亲合并，时间复杂度为 $O((n+m)\log m+k\log k)$，空间复杂度为 $O(m+n\log m+k)$。这样在求出一个结点对应的堆时，无需复制结点且之后其父亲结点对应的堆仍然可以正常访问。

注意的是，如上文所言，最终询问时不需要可并堆的合并操作。
询问时使用优先队列维护可并堆的根，对于可并堆堆顶的删除，直接将其左右儿子加入优先队列中，
就只需要 $O(k)$ 而非 $O(k\log m)$ 的空间。

参考实现

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 200010;
int n, m, s, t, k, x, y, ww, cnt, fa[maxn];

struct Edge {
  int cur, h[maxn], nxt[maxn], p[maxn], w[maxn];

  void add_edge(int x, int y, int z) {
    cur++;
    nxt[cur] = h[x];
    h[x] = cur;
    p[cur] = y;
    w[cur] = z;
  }
} e1, e2;

int dist[maxn];
bool tf[maxn], vis[maxn], ontree[maxn];

struct node {
  int x, v;

  node* operator=(node a) {
    x = a.x;
    v = a.v;
    return this;
  }

  bool operator<(node a) const { return v > a.v; }
} a;

priority_queue<node> Q;

void dfs(int x) {
  vis[x] = true;
  for (int j = e2.h[x]; j; j = e2.nxt[j])
    if (!vis[e2.p[j]])
      if (dist[e2.p[j]] == dist[x] + e2.w[j])
        fa[e2.p[j]] = x, ontree[j] = true, dfs(e2.p[j]);
}

struct LeftistTree {
  int cnt, rt[maxn], lc[maxn * 20], rc[maxn * 20], dist[maxn * 20];
  node v[maxn * 20];

  LeftistTree() { dist[0] = -1; }

  int newnode(node w) {
    cnt++;
    v[cnt] = w;
    return cnt;
  }

  int merge(int x, int y) {
    if (!x || !y) return x + y;
    if (v[x] < v[y]) swap(x, y);
    int p = ++cnt;
    lc[p] = lc[x];
    v[p] = v[x];
    rc[p] = merge(rc[x], y);
    if (dist[lc[p]] < dist[rc[p]]) swap(lc[p], rc[p]);
    dist[p] = dist[rc[p]] + 1;
    return p;
  }
} st;

void dfs2(int x) {
  vis[x] = true;
  if (fa[x]) st.rt[x] = st.merge(st.rt[x], st.rt[fa[x]]);
  for (int j = e2.h[x]; j; j = e2.nxt[j])
    if (fa[e2.p[j]] == x && !vis[e2.p[j]]) dfs2(e2.p[j]);
}

int main() {
  scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t, &k);
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &ww), e1.add_edge(x, y, ww), e2.add_edge(y, x, ww);
  Q.push({t, 0});
  while (!Q.empty()) {
    a = Q.top();
    Q.pop();
    if (tf[a.x]) continue;
    tf[a.x] = true;
    dist[a.x] = a.v;
    for (int j = e2.h[a.x]; j; j = e2.nxt[j]) Q.push({e2.p[j], a.v + e2.w[j]});
  }
  if (k == 1) {
    if (tf[s])
      printf("%d\n", dist[s]);
    else
      printf("-1\n");
    return 0;
  }
  dfs(t);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (tf[i])
      for (int j = e1.h[i]; j; j = e1.nxt[j])
        if (!ontree[j])
          if (tf[e1.p[j]])
            st.rt[i] = st.merge(
                st.rt[i],
                st.newnode({e1.p[j], dist[e1.p[j]] + e1.w[j] - dist[i]}));
  for (int i = 1; i <= n; i++) vis[i] = false;
  dfs2(t);
  if (st.rt[s]) Q.push({st.rt[s], dist[s] + st.v[st.rt[s]].v});
  while (!Q.empty()) {
    a = Q.top();
    Q.pop();
    cnt++;
    if (cnt == k - 1) {
      printf("%d\n", a.v);
      return 0;
    }
    if (st.lc[a.x])  // 可并堆删除直接把左右儿子加入优先队列中
      Q.push({st.lc[a.x], a.v - st.v[a.x].v + st.v[st.lc[a.x]].v});
    if (st.rc[a.x])
      Q.push({st.rc[a.x], a.v - st.v[a.x].v + st.v[st.rc[a.x]].v});
    x = st.rt[st.v[a.x].x];
    if (x) Q.push({x, a.v + st.v[x].v});
  }
  printf("-1\n");
  return 0;
}

习题

「SDOI2010」魔法猪学院