Tree hash
我们有时需要判断一些树是否同构。这时，选择恰当的哈希方式来将树映射成一个便于储存的哈希值（一般是 32 位或 64 位整数）是一个优秀的方案。
树哈希有很多种哈希方式，下面将选出几种较为常用的方式来加以介绍。
方法一
公式
$$ f_{now}=size_{now} \times \sum f_{son(now,i)}\times seed^{i-1} $$
注
其中 $f_x$ 为以节点 $x$ 为根的子树对应的哈希值。特殊地，我们令叶子节点的哈希值为 $1$。
$size_{x}$ 表示以节点 $x$ 为根的子树大小。
$son_{x,i}$ 表示 $x$ 所有子节点以 $f$ 作为关键字排序后排名第 $i$ 的儿子。
$seed$ 为选定的一个合适的种子（最好是质数，对字符串 hash 有了解的人一定不陌生）
上述哈希过程中，可以适当取模避免溢出或加快运行速度。
Hack
上图中，可以计算出两棵树的哈希值均为 $60(1+seed)$。
方法二
公式
$$ f_{now}=\bigoplus f_{son(now,i)}\times seed+size_{son(now,i)} $$
注
其中 $f_x$ 为以节点 $x$ 为根的子树对应的哈希值。特殊地，我们令叶子节点的哈希值为 $1$。
$size_{x}$ 表示以节点 $x$ 为根的子树大小。
$son_{x,i}$ 表示 $x$ 所有子节点之一（不用排序）。
$seed$ 为选定的一个合适的质数。
$\bigoplus$ 表示异或和。
Hack
由于异或的性质，如果一个节点下有多棵本质相同的子树，这种哈希值将无法分辨该种子树出现 $1,3,5,\dots$ 次的情况。
方法三
公式
$$ f_{now}=1+\sum f_{son(now,i)} \times prime(size_{son(now,i)}) $$
注
其中 $f_x$ 为以节点 $x$ 为根的子树对应的哈希值。
$size_{x}$ 表示以节点 $x$ 为根的子树大小。
$son_{x,i}$ 表示 $x$ 所有子节点之一（不用排序）。
$prime(i)$ 表示第 $i$ 个质数。
???+ warning 对于两棵大小不同的树 $T_1,T_2$，$f_{T_1}=f_{T_2}$ 是可能的，因此在判断树同构前要先判断大小是否相等。
例题
例题一 「BJOI2015」树的同构
我们用上述方式任选其一进行哈希，注意到我们求得的是子树的 hash 值，也就是说只有当根一样时同构的两棵子树 hash 值才相同。由于数据范围较小，我们可以暴力求出以每个点为根时的哈希值，也可以通过 up and down 树形 dp 的方式，遍历树两遍求出以每个点为根时的哈希值，排序后比较。
如果数据范围较大，我们可以通过找重心的方式来优化复杂度。（一棵树的重心最多只有两个，分别比较即可）
做法一
??? "例题参考代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/tree-hash/tree-hash_1.cpp"
做法二
??? "例题参考代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/tree-hash/tree-hash_2.cpp"
例题二 HDU 6647
题目要求的是遍历一棵无根树产生的本质不同括号序列方案数。
首先，注意到一个结论，对于两棵有根树，如果他们不同构，一定不会生成相同的括号序列。我们先考虑遍历有根树能够产生的本质不同括号序列方案数，假设我们当前考虑的子树根节点为 $u$，记 $f(u)$ 表示这棵子树的方案数，$son(u)$ 表示 $u$ 的儿子节点集合，从 $u$ 开始往下遍历，顺序可以随意选择，产生 $|son(u)|!$ 种排列，遍历每个儿子节点 $v$，$v$ 的子树内有 $f(v)$ 种方案，因此有 $f(u)=|son(u)|! \cdot \prod_{v\in son(u)} f(v)$。但是，同构的子树之间会产生重复，$f(u)$ 需要除掉每种本质不同子树出现次数阶乘的乘积，类似于多重集合的排列。
通过上述树形 dp，可以求出根节点的方案数，再通过 up and down 树形 dp，将父亲节点的哈希值和方案信息转移给儿子，可以求出以每个节点为根时的哈希值和方案数，每种不同的子树只需要计数一次即可。
注意，本题数据较强，树哈希很容易发生冲突。这里提供一个比较简单的解决方法，求出一个节点子树的哈希值后，可以将其前后分别插入一个值再计算一遍哈希值。
做法
??? "例题参考代码"
cpp
--8<-- "docs/graph/code/tree-hash/tree-hash_3.cpp"
写在最后
事实上，树哈希是可以很灵活的，可以有各种各样奇怪的姿势来进行 hash，只需保证充分性与必要性，选手完全可以设计出与上述方式不同的 hash 方式。
参考资料
方法三参考自博客 树 hash。