Balanced ternary
平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的 计数体系。正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1。
这里有几个例子：
0 0
1 1
2 1Z
3 10
4 11
5 1ZZ
6 1Z0
7 1Z1
8 10Z
9 100
该 计数体系 的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z)。
-1 Z
-2 Z1
-3 Z0
-4 ZZ
-5 Z11
很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1。
转换算法
在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示。当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。
应用一
把 64 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
$$ \text 64_{10} = 02101_3 $$
让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：
101被跳过（因为在平衡三进制中允许0和1）；2变成了Z，它左边的数字加1，得到1Z101；1被跳过，得到1Z101。
最终的结果是 1Z101。
我们再把它转换回十进制：
$$ \texttt {1Z101}=81 \times 1 +27 \times (-1) + 9 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 1 = 64_{10} $$
应用二
把 237 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
$$ \text 237_{10} = 22210_3 $$
0和1被跳过（因为在平衡三进制中允许0和1)；2变成Z，左边的数字加1，得到23Z10；3变成0，左边的数字加1，得到30Z10；3变成0，左边的数字（默认是0）加1，得到100Z10；1被跳过，得到100Z10。
最终的结果是 100Z10。
我们再把它转换回十进制：
$$ \texttt{ 100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10} $$
平衡三进制的唯一性
对于一个平衡三进制数 $X_3$ 来说，其可以按照每一位 $x_i$ 乘上对应的权值 $3^i$ 来唯一得到一个十进制数 $Y_{10}$。那对于一个十进制数 $Y_{10}$，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？
答案是肯定的。
我们利用 反证法 来求证：
假设一个十进制数 $Y_{10}$，存在两个 不同的平衡三进制数 $A_3,B_3$ 转化成十进制时等于 $Y_{10}$，即证 $A_3 = B_3$。分情况讨论：
- 当 $Y_{10}=0$，显然 $A_3 = B_3 = 0_3$，与假设矛盾。
当 $Y_{10}>0$：
将 $A_3$，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位，$b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位。在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$。可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关。因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$。
对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位，$a_0 \neq b_0$。假设 $b_0 > a_0$（$a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in {1,2}$。$A_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$，$B_3'$ 的位 $i=1,2,3,...$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$。由于 $A_3' = B_3'$，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$。$S_1,S_2$ 有公因子 $3$，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$
- 当 $Y_{10}<0$，证法与 $Y_{10}>0$ 相同。
故对于任意十进制 $Y_{10}$，均有唯一对应的平衡三进制 $X_3$。
练习题
本页面部分内容译自博文 Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。