Bell
贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是 (OEIS A000110)：
$$ B_0 = 1,B_1 = 1,B_2=2,B_3=5,B_4=15,B_5=52,B_6=203,\dots $$
$B_n$ 是基数为 $n$ 的集合的划分方法的数目。集合 $S$ 的一个划分是定义为 $S$ 的两两不相交的非空子集的族，它们的并是 $S$。例如 $B_3 = 5$ 因为 3 个元素的集合 ${a, b, c}$ 有 5 种不同的划分方法：
$$ \begin{aligned} &{ {a},{b},{c}} \ &{ {a},{b,c}} \ &{ {b},{a,c}} \ &{ {c},{a,b}} \ &{ {a,b,c}} \ \end{aligned} $$
$B_0$ 是 1 因为空集正好有 1 种划分方法。
公式
贝尔数适合递推公式：
$$ B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{k} $$
证明：
$B_{n+1}$ 是含有 $n+1$ 个元素集合的划分个数，设 $D_n$ 的集合为 ${b_1,b_2,b_3,\dots,b_n}$，$D_{n+1}$ 的集合为 ${b_1,b_2,b_3,\dots,b_n,b_{n+1}}$，那么可以认为 $D_{n+1}$ 是有 $D_{n}$ 增添了一个 $b_{n+1}$ 而产生的，考虑元素 $b_{n+1}$。
假如它被单独分到一类，那么还剩下 $n$ 个元素，这种情况下划分数为 $\binom{n}{n}B_{n}$;
假如它和某 1 个元素分到一类，那么还剩下 $n-1$ 个元素，这种情况下划分数为 $\binom{n}{n-1}B_{n-1}$；
假如它和某 2 个元素分到一类，那么还剩下 $n-2$ 个元素，这种情况下划分数为 $\binom{n}{n-2}B_{n-2}$；
以此类推就得到了上面的公式。
每个贝尔数都是相应的第二类 斯特林数 的和。 因为第二类斯特林数是把基数为 $n$ 的集合划分为正好 $k$ 个非空集的方法数目。
$$ B_{n} = \sum_{k=0}^nS(n,k) $$
贝尔三角形
用以下方法构造一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：
- 第一行第一项为 1 $(a_{1,1}=1)$；
- 对于 $n>1$，第 $n$ 行第一项等于第 $n-1$ 行的第 $n - 1$ 项 $(a_{n,1}=a_{n-1,n-1})$；
- 对于 $m,n>1$，第 $n$ 行的第 $m$ 项等于它左边和左上角两个数之和 $(a_{n,m}=a_{n,m-1}+a_{n-1,m-1})$
部分结果如下：
$$
\begin{aligned}
& 1 \
& 1\quad\qquad 2 \
& 2\quad\qquad 3\quad\qquad 5 \
& 5\quad\qquad 7\quad\qquad 10\,\,\,\qquad 15 \
& 15\,\,\,\qquad 20\,\,\,\qquad 27\,\,\,\qquad 37\,\,\,\qquad 52 \
& 52\,\,\,\qquad 67\,\,\,\qquad 87\,\,\,\qquad 114\qquad 151\qquad 203\
& 203\qquad 255\qquad 322\qquad 409\qquad 523\qquad 674\qquad 877 \
\end{aligned}
$$
每行的首项是贝尔数。可以利用这个三角形来递推求出 Bell 数。
??? note "参考实现" ```c++ // C++ Version const int maxn = 2000 + 5; int bell[maxn][maxn];
void f(int n) {
bell[1][1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1];
for (int j = 2; j <= i; j++)
bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1];
}
}
```
```python
# Python Version
maxn = 2000 + 5
bell = [[0 for i in range(maxn)] for j in range(maxn)]
def f(n):
bell[1][1] = 1
for i in range(2, n + 1):
bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1]
for j in range(2, i + 1):
bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1]
```