Complex
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复数的引入，定义和分类
复数的引入
注：下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。
从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^2+a=0 (a>0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^2+1=0$ 有没有解。
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2-2=0$ 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
依照这种思想，为了解决 $x^2+1=0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $\text{i}$，使得 $x=\text{i}$ 是方程 $x^2+1=0$ 的解，即使得 $\text{i}^2=-1$。
思考：把新引进的数 $\text{i}$ 添加到实数集中，我们希望数 $\text{i}$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数 $b$ 与 $\text{i}$ 相乘，结果记作 $b\text{i}$；把实数 $a$ 与 $b\text{i}$ 相加，结果记作 $a+b\text{i}$。注意到所有实数以及 $\text{i}$ 都可以写成 $a+b\text{i}(a,b\in \mathbb{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
复数的定义和分类
哇哦我们定义的数的性质这么好！
我们定义形如 $a+b\text{i}$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$ 的数叫做 复数，其中 $\text{i}$ 被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做 复数集。
复数通常用 $z$ 表示，即 $z=a+b\text{i}$。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的 实部，$b$ 称为复数 $z$ 的 虚部。如无特殊说明，都有 $a,b\in \mathbb{R}$。
对于一个复数 $z$，当且仅当 $b=0$ 时，它是实数，当 $b\not = 0$ 时，它是虚数，当 $a=0$ 且 $b\not = 0$ 时，它是纯虚数。
纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。
复数的性质与运算
复数的几何意义
我们知道了 $a+b\text{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。
我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。
首先我们定义 复数相等：两个复数 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$。
这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。
也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b\text{i}$。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找到了复数的一种几何意义。
那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面，$x$ 轴称为 实轴，$y$ 轴称为 虚轴。我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。
我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a,b)$，显然，复数 $z=a+b\text{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a,b)$，那么它还对应平面向量 $\overrightarrow{OZ}=(a,b)$，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 $0$ 与零向量对应）。
于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b\text{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b\text{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow {OZ}$，并规定相等的向量表示同一个复数。
并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。
复数的运算
复数的加法与减法
我们规定，复数的加法规则如下：
设 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$，那么
$$ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\text{i} $$
很明显，两个复数的和仍为复数。
考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。
同样可以验证，复数的加法满足交换律和结合律。即：
$$ z_1+z_2=z_2+z_1\ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) $$
减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：
$$ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\text{i} $$
这同样符合向量的减法运算。
复数的乘法与除法
我们规定，复数的乘法规则如下：
设 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$，那么
$$ \begin{aligned} z_1z_2&=(a+b\text{i})(c+d\text{i})\ &=ac+bc\text{i}+ad\text{i}+bd\text{i}^2\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\text{i} \end{aligned} $$
可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 $\text{i}^2$ 换成 $-1$，并将实部与虚部分别合并即可。
复数确实与多项式有关，因为复数域是实系数多项式环模掉 $x^2+1$ 生成的理想。（这句话不明白其实也没有关系）
复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。
于是容易知道，复数乘法满足交换律，结合律和对加法的分配律，即：
$$ z_1z_2=z_2z_1\ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 $$
由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。
除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：
$$ \begin{aligned} \frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}&=\frac{(a+b\text{i})(c-d\text{i})}{(c+d\text{i})(c-d\text{i})}\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\text{i} &(c+d\text{i}\not =0) \end{aligned} $$
为了分母实数化，我们乘了一个 $c-d\text{i}$，这个式子很有意义。
我们定义，当两个虚数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为 共轭复数。通常记 $z=a+b\text{i}$ 的共轭复数为 $\bar z=a-b\text{i}$。我们可以发现，两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称。
由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。