Dgf

记 $\mathcal{P}$ 表示素数集合。

狄利克雷生成函数

对于无穷序列 $f_1, f_2, \ldots$，定义其狄利克雷生成函数（Dirichlet series generating function，DGF）^1为：

$$ \tilde{F}(x) = \sum_{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x} $$

如果序列 $f$ 满足积性（积性函数^2）：$\forall i\perp j, \; f_{ij} = f_i f_j$，那么其 DGF 可以由质数幂处的取值表示：

$$ \tilde{F}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \left(1 + \frac{f_p}{p^x} + \frac{f_{p^2}}{p^{2x}} + \frac{f_{p^3}}{p^{3x}} + \cdots \right) $$

对于两个序列 $f, g$，其 DGF 之积对应的是两者的狄利克雷卷积^4序列的 DGF：

$$ \tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}} $$

常见积性函数的 DGF

DGF 最适合用于研究与积性函数的狄利克雷卷积相关的问题。因此首先我们要了解常见积性函数的 DGF。

黎曼函数

序列 $[1, 1, 1, \ldots]$ 的 DGF 是 $\sum_{i\ge 1}\frac{1}{i^x} = \zeta(x)$。$\zeta$ 是黎曼函数。

由于其满足积性，因此我们可以得到 $[1, 1, 1, \ldots]$ 的 DGF 的另一种形式：

$$ \zeta(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{1}{p^x} + \frac{1}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{-x}} $$

莫比乌斯函数

对于莫比乌斯函数 $\mu$，它的 DGF 定义为

$$ \tilde{M} (x) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\left(1 - \frac{1}{p^x}\right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}(1-p^{-x}) $$

容易发现 $\zeta(x) \tilde{M}(x) = 1$，也就是说 $\tilde{M}(x) = \frac{1}{\zeta(x)}$。

欧拉函数

对于欧拉函数 $\varphi$，它的 DGF 定义为

$$ \tilde{\Phi}(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p-1}{p^x} + \frac{p(p-1)}{p^{2x}} + \frac{p^2(p-1)}{p^{3x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\frac{1-p^{-x}}{1-p^{1-x}} $$

因此有 $\tilde{\Phi}(x) = \frac{\zeta(x-1)}{\zeta(x)}$。

幂函数

对于函数 $I_k (n) = n^k$，它的 DGF 定义为

$$ \tilde{I_k} (x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p^k}{p^x} + \frac{p^{2k}}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{k-x}} = \zeta(x-k) $$

根据这些定义，容易推导出 $\varphi \ast 1 = I$，$\ast$ 表示狄利克雷卷积。因为 $\tilde{\Phi}(x)\zeta(x) = \zeta(x-1)$。

其他函数

对于约数幂函数 $\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k$，它的 DGF 可以表示为狄利克雷卷积的形式：$\tilde S(x) = \zeta(x-k)\zeta(x)$。

对于 $u(n) = |\mu(n)|$（无平方因子数），它的 DGF 为 $\tilde{U}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} (1+p^{-x}) = \frac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}$。

Dirichlet 卷积

定义

对于两个数论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，则它们的狄利克雷卷积得到的结果 $h(x)$ 定义为：

$$ h(x)=\sum_{d\mid x}{f(d)g\left(\dfrac xd \right)}=\sum_{ab=x}{f(a)g(b)} $$

上式可以简记为：

$$ h=f*g $$

狄利克雷卷积是数论函数的重要运算，数论函数的许多性质都是通过这个运算挖掘出来的。

狄利克雷卷积与狄利克雷生成函数（DGF）密切相关。对于两个序列 $f, g$，其狄利克雷生成函数之积，对应的是两者的狄利克雷卷积序列的狄利克雷生成函数：

$$ \tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}} $$

性质

交换律： $fg=gf$。

结合律：$(fg)h=f(gh)$。

分配律：$(f+g)h=fh+g*h$。

等式的性质： $f=g$ 的充要条件是 $fh=gh$，其中数论函数 $h(x)$ 要满足 $h(1)\ne 0$。

证明： 充分性是显然的。

证明必要性，我们先假设存在 $x$，使得 $f(x)\ne g(y)$。那么我们找到最小的 $y\in \mathbb{N}$，满足 $f(y)\ne g(y)$，并设 $r=fh-gh=(f-g)*h$。

则有：

$$ \begin{aligned} r(y)&=\sum_{d\mid y}{(f(d)-g(d))h\left(\dfrac yd \right)}\ &=(f(y)-g(y))h(1)\ &\ne 0 \end{aligned} $$

则 $fh$ 和 $gh$ 在 $y$ 处的取值不一样，即有 $fh\ne gh$。矛盾，所以必要性成立。

证毕

???+note "注" 以上性质在狄利克雷生成函数的观点下是显然的，这种特殊的卷积等价于相应生成函数的乘法。

单位元： 单位函数 $\varepsilon$ 是 Dirichlet 卷积运算中的单位元，即对于任何数论函数 $f$，都有 $f*\varepsilon=f$。

???+note "注" 狄利克雷卷积运算中的单位元不是常函数，但是在狄利克雷生成函数中等价于常数 $1$。

狄利克雷卷积运算中的数论函数常函数 $1$，在狄利克雷生成函数中等价于黎曼函数 $\zeta$。

逆元： 对于任何一个满足 $f(x)\ne 0$ 的数论函数，如果有另一个数论函数 $g(x)$ 满足 $fg=\varepsilon$，则称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的逆元。由 等式的性质* 可知，逆元是唯一的。

???+note "注" 狄利克雷卷积运算中的逆元，在狄利克雷生成函数中相当于倒数运算。

容易构造出 $g(x)$ 的表达式为：

$$ g(x)=\dfrac {\varepsilon(x)-\sum_{d\mid x,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {x}{d} \right)}}{f(1)} $$

重要结论

两个积性函数的 Dirichlet 卷积也是积性函数

证明： 设两个积性函数为 $f(x)$ 和 $g(x)$，再记 $h=f*g$。

设 $\gcd(a,b)=1$，则：

$$ h(a)=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)},h(b)=\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}, $$

所以：

$$ \begin{aligned} h(a)h(b)&=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)}\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}\ &=\sum_{d\mid ab}{f(d)g\left(\dfrac {ab}d \right)}\ &=h(ab) \end{aligned} $$

所以结论成立。

证毕

积性函数的逆元也是积性函数

证明：我们设 $f*g=\varepsilon$，并且不妨设 $f(1)=1$。考虑归纳法：

若 $nm=1$，则 $g(nm)=g(1)=1$，结论显然成立；
若 $nm>1(\gcd(n,m)=1)$，假设现在对于所有的 $xy<nm(\gcd(x,y)=1)$，都有 $g(xy)=g(x)g(y)$，所以有： $$ g(nm)=-\sum_{d\mid nm,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {nm}d \right)}=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)} $$ 又因为 $\dfrac{nm}{ab}<nm$，所以有： $$ \begin{aligned} g(nm)&=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)}\\ &=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=f(1)f(1)g(n)g(m)-\sum_{a\mid n,b\mid m}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=g(n)g(m)-\sum_{a\mid n}{f(a)g\left(\dfrac {n}{a} \right)}\sum_{b\mid m}{f(b)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=g(n)g(m)-\varepsilon(n)-\varepsilon(m)\\ &=g(n)g(m) \end{aligned} $$

综合以上两点，结论成立。

证毕

???+note "注" 这也说明，数论函数的积性，在狄利克雷生成函数中的对应具有封闭性。

例子

$$ \begin{aligned} \varepsilon=\mu \ast 1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\ d=1 \ast 1&\iff d(n)=\sum_{d\mid n}1\ \sigma=\operatorname{id} \ast 1&\iff\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\ \varphi=\mu \ast \operatorname{id}&\iff\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \end{aligned} $$

Dgf