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生成函数（generating function），又称母函数，是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式：

$$ F(x)=\sum_n a_nk_n(x) $$

其中 $k_n(x)$ 被称为核函数。不同的核函数会导出不同的生成函数，拥有不同的性质。举个例子：

1. 普通生成函数：$k_n(x)=x^n$。
2. 指数生成函数：$k_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}$。
3. 狄利克雷生成函数：$k_n(x)=\dfrac{1}{n^x}$。

另外，对于生成函数 $F(x)$，我们用 $[k_n(x)]F(x)$ 来表示它的第 $n$ 项的核函数对应的系数，也就是 $a_n$。