Lift the exponent

升幂定理

升幂定理（Lift the Exponent，常简记为 LTE）由于其针对模数为素数的幂（$\pmod {p^a}$）的强大威力，常出现在各种结论的快速证明中。

根据相应乘法群的结构不同，升幂定理分为两部分，模为奇素数与模为 $2$，简记为 $LTEp$ 和 $LTE2$。

定理需要记 $v_p(n)$ 为素数 $p$ 在整数 $n$ 中的个数，即 $p^{v_p(n)}$ 恰好整除整数 $n$，$p^{v_p(n)+1}$ 不整除整数 $n$。

模为奇素数

前提条件：$n$ 为正整数，整数 $a$ 与 $b$ 不被 $p$ 整除，且模 $p$ 同余。

定理为等式：

$$ v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n) $$

证明

设 $n=p^km$，则 $k=v_p(n)$，$p$ 不整除 $m$。

$$ a^n-b^n=a^{p^km}-b^{p^km}=(a^{p^k}-b^{p^k})(a^{m-1}+a^{m-2}b+\ldots+b^{m-1}) $$

模 $p$ 容易发现 $p$ 不整除 $a^{m-1}+a^{m-2}b+\ldots+b^{m-1}$。

问题转化为分析 $a^{p^k}-b^{p^k}$。只要 $k$ 大于 $0$，记 $c=a^{p^{k-1}}$，$d=b^{p^{k-1}}$：

$$ a^{p^k}-b^{p^k}=c^p-d^p=(c-d)(c^{p-1}+c^{p-2}d+\ldots+d^{p-1}) $$

模 $p$ 容易发现 $p$ 整除 $c^{p-1}+c^{p-2}d+\ldots+d^{p-1}$。若令 $d=c+kp$，由二项式定理有：

$$ c^{p-1}+c^{p-2}d+\ldots+d^{p-1}=\frac{d^p-c^p}{d-c}=\frac{(c+kp)^p-c^p}{kp}=C_p^1 c^{p-1}+C_p^2 c^{p-2}kp+\ldots\equiv C_p^1 c^{p-1} \pmod {p^2} $$

因为 $p$ 是奇素数，可以得知 $p^2$ 不整除 $C_p^1 c^{p-1}$，因此也不整除 $c^{p-1}+c^{p-2}d+\ldots+c^{p-1}$。

利用归纳法，初始条件显然，从而证完了原命题。

模为 2

前提条件：$n$ 为正整数，整数 $a$ 与 $b$ 都是奇数。

如果 $n$ 为奇数，定理为等式：

$$ v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b) $$

如果 $n$ 为偶数，定理为等式：

$$ v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1 $$

证明

设 $n=2^km$，则 $k=v_2(n)$，$2$ 不整除 $m$。

$$ a^n-b^n=a^{2^km}-b^{2^km}=(a^{2^k}-b^{2^k})(a^{m-1}+a^{m-2}b+\ldots+b^{m-1}) $$

模 $2$ 容易发现 $2$ 不整除 $a^{m-1}+a^{m-2}b+\ldots+b^{m-1}$。

如果 $n$ 为奇数，则 $k$ 为 $0$，$n=m$，这部分定理就证完了。

如果 $n$ 为偶数，则 $k$ 至少为 $1$，问题转化为分析 $a^{2^k}-b^{2^k}$。

如果 $k$ 大于 $1$，记 $c=a^{2^{k-1}}$，$d=b^{2^{k-1}}$：

$$ a^{2^k}-b^{2^k}=c^2-d^2=(c-d)(c+d) $$

容易发现 $2$ 整除 $c+d$。由于假设 $k$ 大于 $1$，于是 $c$ 和 $d$ 都是平方数，于是 $4$ 不整除 $c+d$，因此 $c+d$ 里只含一个 $2$。

因为 $k$ 至少为 $1$，归纳法的初始条件为 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，在 $\frac{a+b}{2}$ 和 $\frac{a-b}{2}$ 中至少有一个不被 $2$ 整除，$v_2(a-b)$ 和 $v_2(a+b)$ 中有一个是 $1$，从而定理成立。