Linear equation

介绍

形如 $ax \equiv c \pmod b$ 的方程被称为 线性同余方程(Congruence Equation)。

「NOIP2012」同余方程

求解方法

根据以下两个定理，我们可以求出同余方程 $ax \equiv c \pmod b$ 的解。

定理 1：方程 $ax+by=c$ 与方程 $ax \equiv c \pmod b$ 是等价的，有整数解的充要条件为 $\gcd(a,b) \mid c$。

根据定理 1，方程 $ax+by=c$，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 $x_0,y_0$，也就是 $ax_0+by_0=\gcd(a,b)$，然后两边同时除以 $\gcd(a,b)$，再乘 $c$。然后就得到了方程 $a\dfrac{c}{\gcd(a,b)}x_0+b\dfrac{c}{\gcd(a,b)}y_0=c$，然后我们就找到了方程的一个解。

定理 2：若 $\gcd(a,b)=1$，且 $x_0$、$y_0$ 为方程 $ax+by=c$ 的一组解，则该方程的任意解可表示为：$x=x_0+bt$，$y=y_0-at$, 且对任意整数 $t$ 都成立。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 $x=(x \bmod t+t) \bmod t$，其中 $t=\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$。

???+note "代码实现" ```cpp // C++ Version int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int d = ex_gcd(b, a % b, x, y); int temp = x; x = y; y = temp - a / b * y; return d; }

bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}
```

```python
# Python Version
def ex_gcd(a, b ,x, y):
  if b == 0:
      x = 1; y = 0
      return a
  d = ex_gcd(b, a % b, x, y)
  temp = x
  x = y
  y = temp - a // b * y
  return d

def liEu(a, b, c, x, y):
  d = ex_gcd(a, b, x, y)
  if c % d != 0:
      return 0
  k = c // d
  x = x * k
  y = y * k
  return 1
```