Permutation group

置换群通常用来解决一些涉及“本质不同”的计数问题，例如用 3 种颜色给一个立方体染色，求本质不同的方案数（经过翻转后相同的两种方案视为同一种）。

有关群的定义、子群的定义，见群论基础。

置换

置换的定义

有限集合到自身的双射（即一一对应）称为置换。集合 $S={a_1,a_2,\dots,a_n}$ 上的置换可以表示为

$$ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmatrix} $$

意为将 $a_i$ 映射为 $a_{p_i}$，其中 $p_1,p_2,\dots,p_n$ 是 $1,2,\dots,n$ 的一个排列。显然 $S$ 上所有置换的数量为 $n!$。

置换的乘法

对于两个置换 $f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\end{pmatrix}$ 和 $g=\begin{pmatrix}a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}$，$f$ 和 $g$ 的乘积记为 $f\circ g$，其值为

$$ f\circ g=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\ a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix} $$

简单来说就是先后经过 $f$ 的映射，再经过 $g$ 的映射。

置换群

易证，集合 $S$ 上的所有置换关于置换的乘法满足封闭性、结合律、有单位元（恒等置换，即每个元素映射成它自己）、有逆元（交换置换表示中的上下两行），因此构成一个群。这个群的任意一个子群即称为 置换群。

循环置换

循环置换是一类特殊的置换，可表示为

$$ (a_1,a_2,\dots,a_m)=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_{m-1},a_m\ a_2,a_3,\dots,a_m,a_1\end{pmatrix} $$

若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是 不相交 的。有如下定理：

任意一个置换都可以分解为若干不相交的循环置换的乘积，例如

$$ \begin{pmatrix}a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\ a_3,a_1,a_2,a_5,a_4\end{pmatrix}=(a_1,a_3,a_2)\circ(a_4,a_5) $$

该定理的证明也非常简单。如果把元素视为图的节点，映射关系视为有向边，则每个节点的入度和出度都为 1，因此形成的图形必定是若干个环的集合，而一个环即可用一个循环置换表示。

Burnside 引理

前面的都算是铺垫，接下来我们进入正题。

描述

设 $A$ 和 $B$ 为有限集合，$X$ 为一些从 $A$ 到 $B$ 的映射组成的集合。
$G$ 是 $A$ 上的置换群，且 $X$ 中的映射在 $G$ 中的置换作用下封闭。
$X/G$ 表示 $G$ 作用在 $X$ 上产生的所有等价类的集合
（若 $X$ 中的两个映射经过 $G$ 中的置换作用后相等，则它们在同一等价类中），则

$$ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| $$

其中 $|S|$ 表示集合 $S$ 中元素的个数，且

$$ X^g={x|x\in X,g(x)=x} $$

是不是觉得很难懂？别急，请看下面的例子。

举例

我们还是以给立方体染色为例子，则上面式子中一些符号的解释如下：

$A$：立方体 6 个面的集合
$B$：3 种颜色的集合
$X$：直接给每个面染色，不考虑本质不同的方案的集合，共有 $3^6$ 种
$G$：各种翻转操作构成的置换群
$X/G$：本质不同的染色方案的集合
$X^g$：对于某一种翻转操作 $g$，所有直接染色方案中，经过 $g$ 这种翻转后保持不变的染色方案的集合

接下来我们需要对 $G$ 中的所有置换进行分析，它们可以分为以下几类（方便起见，将立方体的 6 个面分别称为前、后、上、下、左、右）：

不动：即恒等变换，因为所有直接染色方案经过恒等变换都不变，因此它对应的 $|X^g|=3^6$
以两个相对面的中心连线为轴的 $90^\circ$ 旋转：相对面有 3 种选择，旋转的方向有两种选择，因此这类共有 6 个置换。假设选择了前、后两个面中心的连线为轴，则必须要满足上、下、左、右 4 个面的颜色一样，才能使旋转后不变，因此它对应的 $|X^g|=3^3$
以两个相对面的中心连线为轴的 $180^\circ$ 旋转：相对面有 3 种选择，旋转方向的选择对置换不再有影响，因此这类共有 3 个置换。假设选择了前、后两个面中心的连线为轴，则必须要满足上、下两个面的颜色一样，左、右两个面的颜色一样，才能使旋转后不变，因此它对应的 $|X^g|=3^4$
以两条相对棱的中点连线为轴的 $180^\circ$ 旋转：相对棱有 6 种选择，旋转方向对置换依然没有影响，因此这类共有 6 个置换。假设选择了前、上两个面的边界和下、后两个面的边界作为相对棱，则必须要满足前、上两个面的颜色一样，下、后两个面的颜色一样，左、右两个面的颜色一样，才能使旋转后不变，因此它对应的 $|X^g|=3^3$
以两个相对顶点的连线为轴的 $120^\circ$ 旋转：相对顶点有 4 种选择，旋转的方向有两种选择，因此这类共有 8 个置换。假设选择了前面的右上角和后面的左下角作为相对顶点，则必须满足前、上、右三个面的颜色一样，后、下、左三个面的颜色一样，才能使旋转后不变，因此它对应的 $|X^g|=3^2$

因此，所有本质不同的方案数为

$$ \frac{1}{1+6+3+6+8}(3^6+6\times3^3+3\times3^4+6\times3^3+8\times3^2)=57 $$

证明

看懂本部分需要群论的相关知识，如果你没有学习过群论或者对证明过程没有兴趣，建议直接跳过本部分。

为了证明 Burnside 引理，需要先引入轨道稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem，也称轨道 - 稳定集定理）。

轨道稳定子定理 $G$ 和 $X$ 的定义同上，$\forall x\in X,G^x={g|g(x)=x,g\in G},G(x)={g(x)|g\in G}$，其中 $G^x$ 称为 $x$ 的 稳定子，$G(x)$ 称为 $x$ 的轨道，则有

$$ |G|=|G^x||G(x)| $$

轨道稳定子定理的证明 首先可以证明 $G^x$ 是 $G$ 的子群，因为

封闭性：若 $f,g\in G$，则 $f\circ g(x)=f(g(x))=f(x)=x$，所以 $f\circ g\in G^x$
结合律：显然置换的乘法满足结合律
单位元：因为 $I(x)=x$，所以 $I\in G^x$（$I$ 为恒等置换）
逆元：若 $g\in G^x$，则 $g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=g^{-1}\circ g(x)=I(x)=x$，所以 $g^{-1}\in G^x$

则由群论中的拉格朗日定理，可得

$$ |G|=|G^x|[G:G^x] $$

其中 $[G:G^x]$ 为 $G^x$ 不同的左陪集个数。接下来只需证明 $|G(x)|=[G:G^x]$，我们将其转化为证明存在一个从 $G(x)$ 到 $G^x$ 所有不同左陪集的双射。令 $\varphi(g(x))=gG^x$，下证 $\varphi$ 为双射

若 $g(x)=f(x)$，两边同时左乘 $f^{-1}$，可得 $f^{-1}\circ g(x)=I(x)=x$，所以 $f^{-1}\circ g\in G^x$，由陪集的性质可得 $(f^{-1}\circ g)G^x=G^x$，即 $gG^x=fG^x$
反过来可证，若 $gG^x=fG^x$，则有 $g(x)=f(x)$
以上两点说明对于一个 $g(x)$，只有一个左陪集与其对应，即 $\varphi$ 是一个从 $G(x)$ 到左陪集的映射
又显然 $\varphi$ 有逆映射，因此 $\varphi$ 是一个双射

Burnside 引理的证明

$$ \begin{align} \sum_{g\in G}|X^g|&=|{(g,x)|(g,x)\in G\times X,g(x)=x}|\ &=\sum_{x\in X}|G^x|\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}\quad\quad\quad（轨道稳定子定理）\ &=|G|\sum_{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|G(x)|}\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|Y|}\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}1\ &=|G||X/G| \end{align} $$

所以有

$$ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| $$

Pólya 定理

描述

在与 Burnside 引理相同的前置条件下，若 $X$ 为所有从 $A$ 到 $B$ 的映射，内容修改为

$$ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)} $$

其中 $c(g)$ 表示置换 $g$ 能拆分成的不相交的循环置换的数量。

举例

依然考虑立方体染色问题。分析刚才提到的以相对棱的中点连线为轴的 $180^\circ$ 旋转，如果将前、后、上、下、左、右 6 个面依次编号为 1 到 6，则该置换可以表示为（翻转后原来编号为 1 的面的位置变为了编号为 3 的面，以此类推）

$$ \begin{pmatrix}1,3,2,4,5,6\ 3,1,4,2,6,5\end{pmatrix}=(1,3)\circ(2,4)\circ(5,6) $$

因此 $c(g)=3,|B|^{c(g)}=3^3$，与刚才在 Burnside 引理中分析的结果相同。

证明

在 Burnside 引理中，显然 $g(x)=x$ 的充要条件是 $x$ 将 $g$ 中每个循环置换的元素都映射到了 $B$ 中的同一元素，所以 $|X^g|=|B|^{c(g)}$，即可得 Pólya 定理。