Sqrt
描述
给定多项式 $g\left(x\right)$，求 $f\left(x\right)$，满足：
$$ f^{2}\left(x\right)\equiv g\left(x\right) \pmod{x^{n}} $$
解法
倍增法
假设现在已经求出了 $g\left(x\right)$ 在模 $x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$ 意义下的平方根 $f_{0}\left(x\right)$，则有：
$$ \begin{aligned} f_{0}^{2}\left(x\right)&\equiv g\left(x\right) &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\ f_{0}^{2}\left(x\right)-g\left(x\right)&\equiv 0 &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\ \left(f_{0}^{2}\left(x\right)-g\left(x\right)\right)^{2}&\equiv 0 &\pmod{x^{n}}\ \left(f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)\right)^{2}&\equiv 4f_{0}^{2}\left(x\right)g\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\ \left(\frac{f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}\right)^{2}&\equiv g\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\ \frac{f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}&\equiv f\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\ 2^{-1}f_{0}\left(x\right)+2^{-1}f_{0}^{-1}\left(x\right)g\left(x\right)&\equiv f\left(x\right) &\pmod{x^{n}} \end{aligned} $$
倍增计算即可。
时间复杂度
$$ T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right) $$
还有一种常数较小的写法就是在倍增维护 $f\left(x\right)$ 的时候同时维护 $f^{-1}\left(x\right)$ 而不是每次都求逆。
当 $\left[x^{0}\right]g\left(x\right)\neq 1$ 时，可能需要使用二次剩余来计算 $\left[x^{0}\right]f\left(x\right)$。
??? "洛谷模板题 P5205 【模板】多项式开根 参考代码"
cpp
--8<-- "docs/math/code/poly/sqrt/sqrt_1.cpp"
Newton's Method
参见 Newton's Method.