Modifiable mo algo

请确保您已经会普通莫队算法了。如果您还不会，请先阅读前面的“普通莫队算法”。

特点

普通莫队是不能带修改的。

我们可以强行让它可以修改，就像 DP 一样，可以强行加上一维 时间维, 表示这次操作的时间。

时间维表示经历的修改次数。

即把询问 $[l,r]$ 变成 $[l,r,time]$。

那么我们的坐标也可以在时间维上移动，即 $[l,r,time]$ 多了一维可以移动的方向，可以变成：

这样的转移也是 $O(1)$ 的，但是我们排序又多了一个关键字，再搞搞就行了。

可以用和普通莫队类似的方法排序转移，做到 $O(n^{\frac{5}{3}})$。

这一次我们排序的方式是以 $n^{\frac{2}{3}}$ 为一块，分成了 $n^{\frac{1}{3}}$ 块，第一关键字是左端点所在块，第二关键字是右端点所在块，第三关键字是时间。

还是来证明一下时间复杂度：

左右端点所在块不变，时间在排序后单调向右移，这样的复杂度是 $O(n)$；
若左右端点所在块改变，时间一次最多会移动 $n$ 个格子，时间复杂度 $O(n)$；
左端点所在块一共有 $n^{\frac{1}{3}}$ 中，右端点也是 $n^{\frac{1}{3}}$ 种，一共 ${n^{\frac{1}{3}}}\times{n^{\frac{1}{3}}}=n^{\frac{2}{3}}$ 种，每种乘上移动的复杂度 $O(n)$，总复杂度 $O(n^{\frac{5}{3}})$。

???+note "例题「国家集训队」数颜色 / 维护队列" 题目大意：给你一个序列，M 个操作，有两种操作：

1. 修改序列上某一位的数字
2. 询问区间 $[l,r]$ 中数字的种类数（多个相同的数字只算一个）

我们不难发现，如果不带操作 1（修改）的话，我们就能轻松用普通莫队解决。

但是题目还带单点修改，所以用 带修改的莫队。

先考虑普通莫队的做法：

每次扩大区间时，每加入一个数字，则统计它已经出现的次数，如果加入前这种数字出现次数为 $0$，则说明这是一种新的数字，答案 $+1$。然后这种数字的出现次数 $+1$。
每次减小区间时，每删除一个数字，则统计它删除后的出现次数，如果删除后这种数字出现次数为 $0$，则说明这种数字已经从当前的区间内删光了，也就是当前区间减少了一种颜色，答案 $-1$。然后这种数字的出现次数 $-1$。

现在再来考虑修改：

单点修改，把某一位的数字修改掉。假如我们是从一个经历修改次数为 $i$ 的询问转移到一个经历修改次数为 $j$ 的询问上，且 $i<j$ 的话，我们就需要把第 $i+1$ 个到第 $j$ 个修改强行加上。
假如 $j<i$ 的话，则需要把第 $i$ 个到第 $j+1$ 个修改强行还原。

怎么强行加上一个修改呢？假设一个修改是修改第 $pos$ 个位置上的颜色，原本 $pos$ 上的颜色为 $a$，修改后颜色为 $b$，还假设当前莫队的区间扩展到了 $[l,r]$。

加上这个修改：我们首先判断 $pos$ 是否在区间 $[l,r]$ 内。如果是的话，我们等于是从区间中删掉颜色 $a$，加上颜色 $b$，并且当前颜色序列的第 $pos$ 项的颜色改成 $b$。如果不在区间 $[l,r]$ 内的话，我们就直接修改当前颜色序列的第 $pos$ 项为 $b$。
还原这个修改：等于加上一个修改第 $pos$ 项、把颜色 $b$ 改成颜色 $a$ 的修改。

因此这道题就这样用带修改莫队轻松解决啦！

??? 参考代码 cpp --8<-- "docs/misc/code/modifiable-mo-algo/modifiable-mo-algo_1.cpp"