Astar

本页面将简要介绍 A*算法。

简介

A*搜索算法（英文：A*search algorithm，A*读作 A-star），简称 A*算法，是一种在图形平面上，对于有多个节点的路径求出最低通过成本的算法。它属于图遍历（英文：Graph traversal）和最佳优先搜索算法（英文：Best-first search），亦是 BFS 的改进。

定义起点 $s$，终点 $t$，从起点（初始状态）开始的距离函数 $g(x)$，到终点（最终状态）的距离函数 $h(x)$，$h^{\ast}(x)$[^note1]，以及每个点的估价函数 $f(x)=g(x)+h(x)$。

A*算法每次从优先队列中取出一个 $f$ 最小的元素，然后更新相邻的状态。

如果 $h\leq h*$，则 A*算法能找到最优解。

上述条件下，如果 $h$ 满足三角形不等式，则 A*算法不会将重复结点加入队列。

当 $h=0$ 时，A*算法变为 Dijkstra；当 $h=0$ 并且边权为 $1$ 时变为 BFS。

例题

???+note "八数码" 题目大意：在 $3\times 3$ 的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有 $1$ 至 $8$ 的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用 $0$ 来表示。空格周围的棋子可以移到空格中，这样原来的位置就会变成空格。给出一种初始布局和目标布局（为了使题目简单，设目标状态如下），找到一种从初始布局到目标布局最少步骤的移动方法。

```plain
    123
    804
    765
```

??? note "解题思路" $h$ 函数可以定义为，不在应该在的位置的数字个数。

容易发现 $h$ 满足以上两个性质，此题可以使用 A\*算法求解。

??? note "参考代码" cpp --8<-- "docs/search/code/astar/astar_1.cpp"

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???+note "k 短路" 按顺序求一个有向图上从结点 $s$ 到结点 $t$ 的所有路径最小的前任意多（不妨设为 $k$）个。

??? note "解题思路" 很容易发现，这个问题很容易转化成用 A*算法解决问题的标准程式。

初始状态为处于结点 $s$，最终状态为处于结点 $t$，距离函数为从 $s$ 到当前结点已经走过的距离，估价函数为从当前结点到结点 $t$ 至少要走过的距离，也就是当前结点到结点 $t$ 的最短路。

就这样，我们在预处理的时候反向建图，计算出结点 $t$ 到所有点的最短路，然后将初始状态塞入优先队列，每次取出 $f(x)=g(x)+h(x)$ 最小的一项，计算出其所连结点的信息并将其也塞入队列。当你第 $k$ 次走到结点 $t$ 时，也就算出了结点 $s$ 到结点 $t$ 的 $k$ 短路。

由于设计的距离函数和估价函数，每个状态需要存储两个参数，当前结点 $x$ 和已经走过的距离 $v$。

我们可以在此基础上加一点小优化：由于只需要求出第 $k$ 短路，所以当我们第 $k+1$ 次或以上走到该结点时，直接跳过该状态。因为前面的 $k$ 次走到这个点的时候肯定能因此构造出 $k$ 条路径，所以之后再加边更无必要。

??? note "参考代码" cpp --8<-- "docs/search/code/astar/astar_2.cpp"

参考资料与注释

[^note1]: 此处的 h 意为 heuristic。详见 启发式搜索 - 维基百科 和 A*search algorithm - Wikipedia 的 Bounded relaxation 一节。