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Backtracking

本页面将简要介绍回溯法的概念和应用。

简介

回溯法是一种经常被用在 深度优先搜索（DFS） 和 广度优先搜索（BFS） 的技巧。

其本质是：走不通就回头。

工作原理

  1. 构造空间树；

  2. 进行遍历；

  3. 如遇到边界条件，即不再向下搜索，转而搜索另一条链；

  4. 达到目标条件，输出结果。

例题

???+ note "USACO 1.5.4 Checker Challenge" 现在有一个如下的 $6 \times 6$ 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行，每列，每条对角线（包括两条主对角线的所有对角线）上都至多有一个棋子。

```plain
0   1   2   3   4   5   6
  -------------------------
1 |   | O |   |   |   |   |
  -------------------------
2 |   |   |   | O |   |   |
  -------------------------
3 |   |   |   |   |   | O |
  -------------------------
4 | O |   |   |   |   |   |
  -------------------------
5 |   |   | O |   |   |   |
  -------------------------
6 |   |   |   |   | O |   |
  -------------------------
```

上面的布局可以用序列 $\{2,4,6,1,3,5\}$ 来描述，第 $i$ 个数字表示在第 $i$ 行的第 $a_i$ 列有一个棋子，如下所示

行号 $i$：$\{1,2,3,4,5,6\}$

列号 $a_i$：$\{2,4,6,1,3,5\}$

这只是跳棋放置的一个方案。请编一个程序找出所有方案并把它们以上面的序列化方法输出，按字典顺序排列。你只需输出前 $3$ 个解并在最后一行输出解的总个数。特别注意：你需要优化你的程序以保证在更大棋盘尺寸下的程序效率。

??? note "参考代码" cpp --8<-- "docs/search/code/backtracking/backtracking_1.cpp"

???+note "迷宫" 现有一个尺寸为 $N \times M$ 的迷宫，迷宫里有 $T$ 处障碍，障碍处不可通过。给定起点坐标和终点坐标，且每个方格最多经过一次，问有多少种从起点坐标到终点坐标的方案。在迷宫中移动有上、下、左、右四种移动方式，每次只能移动一个方格。数据保证起点上没有障碍。

??? note "参考代码" cpp --8<-- "docs/search/code/backtracking/backtracking_2.cpp"