Bidirectional
本页面将简要介绍两种双向搜索算法：双向同时搜索和 Meet in the middle。
双向同时搜索
双向同时搜索的基本思路是从状态图上的起点和终点同时开始进行 广搜 或 深搜。如果发现搜索的两端相遇了，那么可以认为是获得了可行解。
双向广搜的步骤：
将开始结点和目标结点加入队列 q
标记开始结点为 1
标记目标结点为 2
while (队列 q 不为空)
{
从 q.front() 扩展出新的 s 个结点
如果 新扩展出的结点已经被其他数字标记过
那么 表示搜索的两端碰撞
那么 循环结束
如果 新的 s 个结点是从开始结点扩展来的
那么 将这个 s 个结点标记为 1 并且入队 q
如果 新的 s 个结点是从目标结点扩展来的
那么 将这个 s 个结点标记为 2 并且入队 q
}
Meet in the middle
???+warning 本节要介绍的不是 二分搜索（二分搜索的另外一个译名为“折半搜索”）。
Meet in the middle 算法没有正式译名，常见的翻译为「折半搜索」、「双向搜索」或「中途相遇」。它适用于输入数据较小，但还没小到能直接使用暴力搜索的情况。
主要思想是将整个搜索过程分成两半，分别搜索，最后将两半的结果合并。
暴力搜索的复杂度往往是指数级的，而改用 meet in the middle 算法后复杂度的指数可以减半，即让复杂度从 $O(a^b)$ 降到 $O(a^{b/2})$。
???+note "例题 「USACO09NOV」灯 Lights" 有 $n$ 盏灯，每盏灯与若干盏灯相连，每盏灯上都有一个开关，如果按下一盏灯上的开关，这盏灯以及与之相连的所有灯的开关状态都会改变。一开始所有灯都是关着的，你需要将所有灯打开，求最小的按开关次数。
$1\le n\le 35$。
??? note "解题思路" 如果这道题暴力 DFS 找开关灯的状态，时间复杂度就是 $O(2^{n})$, 显然超时。不过，如果我们用 meet in middle 的话，时间复杂度可以优化至 $O(n2^{n/2})$。meet in middle 就是让我们先找一半的状态，也就是找出只使用编号为 $1$ 到 $\mathrm{mid}$ 的开关能够到达的状态，再找出只使用另一半开关能到达的状态。如果前半段和后半段开启的灯互补，将这两段合并起来就得到了一种将所有灯打开的方案。具体实现时，可以把前半段的状态以及达到每种状态的最少按开关次数存储在 map 里面，搜索后半段时，每搜出一种方案，就把它与互补的第一段方案合并来更新答案。
??? note "参考代码"
cpp
--8<-- "docs/search/code/bidirectional/bidirectional_1.cpp"