Dfs
DFS 为图论中的概念，详见 DFS（图论） 页面。在 搜索算法 中，该词常常指利用递归函数方便地实现暴力枚举的算法，与图论中的 DFS 算法有一定相似之处，但并不完全相同。
考虑这个例子：
???+note "例题" 把正整数 $n$ 分解为 $3$ 个不同的正整数，如 $6=1+2+3$，排在后面的数必须大于等于前面的数，输出所有方案。
对于这个问题，如果不知道搜索，应该怎么办呢？
当然是三重循环，参考代码如下：
// C++ Version
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = i; j <= n; ++j)
for (int k = j; k <= n; ++k)
if (i + j + k == n) printf("%d = %d + %d + %d\n", n, i, j, k);
# Python Version
for i in range(1, n + 1):
for j in range(i, n + 1):
for k in range(j, n + 1):
if i + j + k == n:
print("%d = %d + %d + %d" % (n, i, j, k))
那如果是分解成四个整数呢？再加一重循环？
那分解成小于等于 $m$ 个整数呢？
这时候就需要用到递归搜索了。
该类搜索算法的特点在于，将要搜索的目标分成若干“层”，每层基于前几层的状态进行决策，直到达到目标状态。
考虑上述问题，即将正整数 $n$ 分解成小于等于 $m$ 个正整数之和，且排在后面的数必须大于等于前面的数，并输出所有方案。
设一组方案将正整数 $n$ 分解成 $k$ 个正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_k$ 的和。
我们将问题分层，第 $i$ 层决定 $a_i$。则为了进行第 $i$ 层决策，我们需要记录三个状态变量：$n-\sum_{j=1}^i{a_j}$，表示后面所有正整数的和；以及 $a_{i-1}$，表示前一层的正整数，以确保正整数递增；以及 $i$，确保我们最多输出 $m$ 个正整数。
为了记录方案，我们用 arr 数组，第 i 项表示 $a_i$. 注意到 arr 实际上是一个长度为 $i$ 的栈。
代码如下：
// C++ Version
int m, arr[103]; // arr 用于记录方案
void dfs(int n, int i, int a) {
if (n == 0) {
for (int j = 1; j <= i - 1; ++j) printf("%d ", arr[j]);
printf("\n");
}
if (i <= m) {
for (int j = a; j <= n; ++j) {
arr[i] = j;
dfs(n - j, i + 1, j); // 请仔细思考该行含义。
}
}
}
// 主函数
scanf("%d%d", &n, &m);
dfs(n, 1, 1);
# Python Version
arr = [0] * 103 # arr 用于记录方案
def dfs(n, i, a):
if n == 0:
print(arr[1:i])
if i <= m:
for j in range(a, n + 1):
arr[i] = j
dfs(n - j, i + 1, j) # 请仔细思考该行含义。
# 主函数
n, m = map(int, input().split())
dfs(n, 1, 1)
例题
C++ 代码：
--8<-- "docs/search/code/dfs/dfs_1.cpp"