Idastar

本页面将简要介绍 IDA*算法。

简介

IDA*为采用了迭代加深算法的 A*算法。由于 IDA*改成了深度优先的方式，相对于 A*算法，它的优势如下：

不需要判重，不需要排序；
空间需求减少。

伪代码

Procedure IDA_STAR(StartState)
Begin
  PathLimit := H(StartState) - 1;
  Succes := False;
  Repeat
    inc(PathLimit);
    StartState.g = 0;
    Push(OpenStack, StartState);
    Repeat
      CurrentState := Pop(OpenStack);
      If Solution(CurrentState) then
        Success = True
      Elseif PathLimit >= CurrentState.g + H(CurrentState) then
        For each Child(CurrentState) do
          Push(OpenStack, Child(CurrentState));
    until Success or empty(OpenStack);
  until Success or ResourceLimtsReached;
end;

优点

空间开销小：每个深度下实际上是一个深度优先搜索，不过深度有限制，使用 DFS 可以减小空间消耗；
利于深度剪枝。

缺点

重复搜索：即使前后两次搜索相差微小，回溯过程中每次深度变大都要再次从头搜索。

例题

???+ note "埃及分数" 在古埃及，人们使用单位分数的和（即 $\frac{1}{a}$，$a\in\mathbb{N}^*$）表示一切有理数。例如，$\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$，但不允许 $\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$，因为在加数中不允许有相同的。

对于一个分数 $\frac{a}{b}$，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。例如，$\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}$ 是最优方案。

输入整数 $a,b$（$0<a<b<500$），试编程计算最佳表达式。

样例输入：

```text
495 499
```

样例输出：

```text
Case 1: 495/499=1/2+1/5+1/6+1/8+1/3992+1/14970
```

??? 解题思路这道题目理论上可以用回溯法求解，但是解答树会非常“恐怖”——不仅深度没有明显的上界，而且加数的选择理论上也是无限的。换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完，因为每一层都是 无限大 的。

解决方案是采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限 $\textit{maxd}$，每次执行只考虑深度不超过 $\textit{maxd}$ 的节点。这样，只要解的深度优先，则一定可以在有限时间内枚举到。

深度上限 $\mathit{maxd}$ 还可以用来 **剪枝**。按照分母递增的顺序来进行扩展，如果扩展到 i 层时，前 $i$ 个分数之和为 $\frac{c}{d}$，而第 $i$ 个分数为 $\frac{1}{e}$，则接下来至少还需要 $\frac{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}}{\frac{1}{e}}$ 个分数，总和才能达到 $\frac{a}{b}$。例如，当前搜索到 $\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{100}+\cdots$，则后面的分数每个最大为 $\frac{1}{101}$，至少需要 $\frac{\frac{19}{45}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{101}}=23$ 项总和才能达到 $\frac{19}{45}$，因此前 $22$ 次迭代是根本不会考虑这棵子树的。这里的关键在于：可以估计至少还要多少步才能出解。

注意，这里使用 **至少** 一词表示估计都是乐观的。形式化地，设深度上限为 $\textit{maxd}$，当前结点 $n$ 的深度为 $g(n)$，乐观估价函数为 $h(n)$，则当 $g(n)+h(n)>\textit{maxd}$ 时应该剪枝。这样的算法就是 IDA\*。当然，在实战中不需要严格地在代码里写出 $g(n)$ 和 $h(n)$，只需要像刚才那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

> 如果可以设计出一个乐观估价函数，预测从当前结点至少还需要扩展几层结点才有可能得到解，则迭代加深搜索变成了 IDA\*算法。

??? 示例代码 cpp --8<-- "docs/search/code/idastar/idastar_1.cpp"

习题

UVa1343 旋转游戏