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Lyndon

Lyndon 分解

首先我们介绍 Lyndon 分解的概念。

Lyndon 串：对于字符串 $s$，如果 $s$ 的字典序严格小于 $s$ 的所有后缀的字典序，我们称 $s$ 是简单串，或者 Lyndon 串。举一些例子，a,b,ab,aab,abb,ababb,abcd 都是 Lyndon 串。当且仅当 $s$ 的字典序严格小于它的所有非平凡的（非平凡：非空且不同于自身）循环同构串时，$s$ 才是 Lyndon 串。

Lyndon 分解：串 $s$ 的 Lyndon 分解记为 $s=w_1w_2\cdots w_k$，其中所有 $w_i$ 为简单串，并且他们的字典序按照非严格单减排序，即 $w_1\ge w_2\ge\cdots\ge w_k$。可以发现，这样的分解存在且唯一。

Duval 算法

Duval 可以在 $O(n)$ 的时间内求出一个串的 Lyndon 分解。

首先我们介绍另外一个概念：如果一个字符串 $t$ 能够分解为 $t=ww\cdots\overline{w}$ 的形式，其中 $w$ 是一个 Lyndon 串，而 $\overline{w}$ 是 $w$ 的前缀（$\overline{w}$ 可能是空串），那么称 $t$ 是近似简单串（pre-simple），或者近似 Lyndon 串。一个 Lyndon 串也是近似 Lyndon 串。

Duval 算法运用了贪心的思想。算法过程中我们把串 $s$ 分成三个部分 $s=s_1s_2s_3$，其中 $s_1$ 是一个 Lyndon 串，它的 Lyndon 分解已经记录；$s_2$ 是一个近似 Lyndon 串；$s_3$ 是未处理的部分。

整体描述一下，该算法每一次尝试将 $s_3$ 的首字符添加到 $s_2$ 的末尾。如果 $s_2$ 不再是近似 Lyndon 串，那么我们就可以将 $s_2$ 截出一部分前缀（即 Lyndon 分解）接在 $s_1$ 末尾。

我们来更详细地解释一下算法的过程。定义一个指针 $i$ 指向 $s_2$ 的首字符，则 $i$ 从 $1$ 遍历到 $n$（字符串长度）。在循环的过程中我们定义另一个指针 $j$ 指向 $s_3$ 的首字符，指针 $k$ 指向 $s_2$ 中我们当前考虑的字符（意义是 $j$ 在 $s_2$ 的上一个循环节中对应的字符）。我们的目标是将 $s[j]$ 添加到 $s_2$ 的末尾，这就需要将 $s[j]$ 与 $s[k]$ 做比较：

  1. 如果 $s[j]=s[k]$，则将 $s[j]$ 添加到 $s_2$ 末尾不会影响它的近似简单性。于是我们只需要让指针 $j,k$ 自增（移向下一位）即可。
  2. 如果 $s[j]>s[k]$，那么 $s_2s[j]$ 就变成了一个 Lyndon 串，于是我们将指针 $j$ 自增，而让 $k$ 指向 $s_2$ 的首字符，这样 $s_2$ 就变成了一个循环次数为 1 的新 Lyndon 串了。
  3. 如果 $s[j]<s[k]$，则 $s_2s[j]$ 就不是一个近似简单串了，那么我们就要把 $s_2$ 分解出它的一个 Lyndon 子串，这个 Lyndon 子串的长度将是 $j-k$，即它的一个循环节。然后把 $s_2$ 变成分解完以后剩下的部分，继续循环下去（注意，这个情况下我们没有改变指针 $j,k$），直到循环节被截完。对于剩余部分，我们只需要将进度“回退”到剩余部分的开头即可。

代码实现

下面的代码返回串 $s$ 的 Lyndon 分解方案。

// C++ Version
// duval_algorithm
vector<string> duval(string const& s) {
  int n = s.size(), i = 0;
  vector<string> factorization;
  while (i < n) {
    int j = i + 1, k = i;
    while (j < n && s[k] <= s[j]) {
      if (s[k] < s[j])
        k = i;
      else
        k++;
      j++;
    }
    while (i <= k) {
      factorization.push_back(s.substr(i, j - k));
      i += j - k;
    }
  }
  return factorization;
}

# Python Version
# duval_algorithm
def duval(s):
    n, i = len(s), 0
    factorization = []
    while i < n:
        j, k = i + 1, i
        while j < n and s[k] <= s[j]:
            if s[k] < s[j]:
                k = i
            else:
                k += 1
            j += 1
        while i <= k:
            factorization.append(s[i : i + j - k])
            i += j - k
    return factorization

复杂度分析

接下来我们证明一下这个算法的复杂度。

外层的循环次数不超过 $n$，因为每一次 $i$ 都会增加。第二个内层循环也是 $O(n)$ 的，因为它只记录 Lyndon 分解的方案。接下来我们分析一下内层循环。很容易发现，每一次在外层循环中找到的 Lyndon 串是比我们所比较过的剩余的串要长的，因此剩余的串的长度和要小于 $n$，于是我们最多在内层循环 $O(n)$ 次。事实上循环的总次数不超过 $4n-3$，时间复杂度为 $O(n)$。

最小表示法（Finding the smallest cyclic shift）

对于长度为 $n$ 的串 $s$，我们可以通过上述算法寻找该串的最小表示法。

我们构建串 $ss$ 的 Lyndon 分解，然后寻找这个分解中的一个 Lyndon 串 $t$，使得它的起点小于 $n$ 且终点大于等于 $n$。可以很容易地使用 Lyndon 分解的性质证明，子串 $t$ 的首字符就是 $s$ 的最小表示法的首字符，即我们沿着 $t$ 的开头往后 $n$ 个字符组成的串就是 $s$ 的最小表示法。

于是我们在分解的过程中记录每一次的近似 Lyndon 串的开头即可。

// C++ Version
// smallest_cyclic_string
string min_cyclic_string(string s) {
  s += s;
  int n = s.size();
  int i = 0, ans = 0;
  while (i < n / 2) {
    ans = i;
    int j = i + 1, k = i;
    while (j < n && s[k] <= s[j]) {
      if (s[k] < s[j])
        k = i;
      else
        k++;
      j++;
    }
    while (i <= k) i += j - k;
  }
  return s.substr(ans, n / 2);
}

# Python Version
# smallest_cyclic_string
def min_cyclic_string(s):
    s += s
    n = len(s)
    i, ans = 0, 0
    while i < n / 2:
        ans = i
        j, k = i + 1, i
        while j < n and s[k] <= s[j]:
            if s[k] < s[j]:
                k = i
            else:
                k += 1
            j += 1
        while i <= k:
            i += j - k
    return s[ans : ans + n / 2]

习题