Seq automaton

在阅读本文之前，请先阅读 自动机。

定义

序列自动机是接受且仅接受一个字符串的子序列的自动机。

本文中用 $s$ 代指这个字符串。

状态

若 $s$ 包含 $n$ 个字符，那么序列自动机包含 $n+1$ 个状态。

令 $t$ 是 $s$ 的一个子序列，那么 $\delta(start, t)$ 是 $t$ 在 $s$ 中第一次出现时末端的位置。

也就是说，一个状态 $i$ 表示前缀 $s[1..i]$ 的子序列与前缀 $s[1..i-1]$ 的子序列的差集。

序列自动机上的所有状态都是接受状态。

转移

由状态定义可以得到，$\delta(u, c)=\min{i|i>u,s[i]=c}$，也就是字符 $c$ 下一次出现的位置。

为什么是“下一次”出现的位置呢？因为若 $i>j$，后缀 $s[i..|s|]$ 的子序列是后缀 $s[j..|s|]$ 的子序列的子集，一定是选尽量靠前的最优。

构建

从后向前扫描，过程中维护每个字符最前的出现位置：

$$ \begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{A string } S\ 2 & \textbf{Output. } \text{The state transition of the sequence automaton of }S \ 3 & \textbf{Method. } \ 4 & \textbf{for }c\in\Sigma\ 5 & \qquad next[c]\gets null\ 6 & \textbf{for }i\gets|S|\textbf{ downto }1\ 7 & \qquad next[S[i]]\gets i\ 8 & \qquad \textbf{for }c\in\Sigma\ 9 & \qquad\qquad \delta(i-1,c)\gets next[c]\ 10 & \textbf{return }\delta \end{array} $$

这样构建的复杂度是 $O(n|\Sigma|)$。

例题

???+note "「HEOI2015」最短不公共子串" 给你两个由小写英文字母组成的串 $A$ 和 $B$，求：

1. $A$ 的一个最短的子串，它不是 $B$ 的子串；
2. $A$ 的一个最短的子串，它不是 $B$ 的子序列；
3. $A$ 的一个最短的子序列，它不是 $B$ 的子串；
4.  $A$ 的一个最短的子序列，它不是 $B$ 的子序列。

    $1\le |A|, |B|\le 2000$。

??? mdui-shadow-6 "题解"
    这题的 (1) 和 (3) 两问需要后缀自动机，而且做法类似，在这里只讲解 (2) 和 (4) 两问。

    (2) 比较简单，枚举 A 的子串输入进 B 的序列自动机，若不接受则计入答案。

    (4) 需要 DP。令 $f(i, j)$ 表示在 A 的序列自动机中处于状态 $i$，在 B 的序列自动机中处于状态 $j$，需要再添加多少个字符能够不是公共子序列。

    $f(i, null)=0$

    $f(i, j)=\min\limits_{\delta_A(i,c)\ne null}f(\delta_A(i, c), \delta_B(j, c))+1$

??? mdui-shadow-6 "参考代码"
    ```cpp
    --8<-- "docs/string/code/seq-automaton/seq-automaton_1.cpp"
    ```